La Funci n Escal n Unitario

 La Función Escalón Unitario.
Esta función se representa mediante el símbolo u(t) y se define de la siguiente manera: Su valor es igual a uno para todo tiempo mayor que cero e igual a cero para todo tiempo menor que cero, tal como se expresa en la siguiente ecuación:

En el instante en que el argumento es igual a cero la función no está definida.
Algunos autores consideran que el valorcorrespondiente a dicho punto es 0, otros le asignan 1, y otros 1/2.
Cualquier voltaje o corriente que se conecta en un instante de tiempo determinado puede describirse utilizando la Función Escalón Unitario. La definición puede generalizarse para representar eventos que ocurren en un instante de tiempo distinto de cero y cuya magnitud difiere de la unidad. Así por ejemplo, la función mostrada en la Figura4.2.a se puede escribir matemáticamente como:

f1(t) = 5 u(t - t1) (4.2)
Esta función es igual a cero mientras el argumento de la misma , (t - t1), es menor que cero, y toma un valor igual a la unidad multiplicada por el factor que le precede (5en este caso) cuando el argumento es mayor que cero.
En forma similar, la función representada en la Figura 4.2.b puede escribirse como:
f2(t) = 8 u(t + t2) (4.3)
La función representada en la Figura 4.2.c tiene la siguiente expresión matemática:
f3(t) = 3 u(2 - t)(4.4)
Y la función representada en la Figura 4.2.d puede expresarse como:
f4(t) = -5 u(-3 - t) (4.5)


Utilizando la Función Escalón Unitario se pueden expresar matemáticamente funciones compuestas como la mostrada en la Figura 4.3.
La ecuación matemática de dicha función es:
f5(t) = 2 u(t) + 2 u(t - 3) + 2 u(t - 6) + 2 u(t - 9) - 8 u(t- 12) (4.6)

La Función Rampa Unitaria.
Esta función se representa mediante el símbolo r(t) y se define de la siguiente manera: Su valor es igual a t para todo tiempo mayor que cero e igual a cero para todo tiempo menor que cero, tal como se expresa en la siguiente ecuación:

Esta función puede expresarse matemáticamente de la siguiente forma:r(t) = t u(t) (4.8)
La representación gráfica de esta función se muestra en la Figura 4.4.a. Al igual que la Función Escalón Unitario, r(t) puede generalizarse modificando apropiadamente sus variables para representar cualquier rampa que comience en un tiempo arbitrario t0 y tenga una pendiente arbitraria K, tal como semuestra en la Figura 4.4.b. La ecuación matemática de esta última función es:
F6(t) = K (t – t0) u(t- t0) = K r(t- t0) (4.9)
Puede comprobarse tanto matemática como gráficamente que la Función Rampa es la integral de la función Escalón Unitario, esto es:
(4.10)

La Función Impulso Unitario.
Para definir estafunción se va a considerar que se tiene una función pulso fp(t) de forma rectangular y área igual a la unidad, cuya duración es ε y cuya amplitud es 1/ ε, tal como se muestra en la Figura 4.5.a. Al hacer tender ε a cero, el pulso se hace cada vez más estrecho y más alto, hasta que en el límite se tiene un Impulso Unitario , de ancho igual a cero y magnitud infinita, pero cuya área es igual a launidad. La Figura 4.5.b es la representación gráfica de la Función Impulso Unitario. Para expresar matemáticamente esta función se utiliza el símbolo δ(t), y de acuerdo con la definición dada, para toda constante positiva α se debe cumplir:

La Función Impulso Unitario es la derivada de la Función Escalón Unitario. Para comprobar esta afirmación puede utilizarse la función up(t) mostrada en la...