La Niña Verena

´ Algebra I - Curso 2005/06 - Grupos M1 y M2

Tema 8: DETERMINANTES
por Mario L´pez G´mez o o

1.
1.1.

Formas multilineales sobre un espacio vectorial.
Multilinealidad.

Definici´n.- Dado E espacio vectorial sobre K, una forma multilineal de orden k sobre E es o una aplicaci´n o ϕ : E × E × ... × E → K k veces tal que, para cada j = 1, 2, . . . , k, ∀uj , u, v ∈ E, ∀λ, µ ∈ K, ϕ(u1 , .. . , uj−1 , λu + µv, uj+1 , . . . , uk ) = = λϕ(u1 , . . . , uj−1 , u, uj+1 , . . . , uk ) + µϕ(u1 , . . . , uj−1 , v, uj+1 , . . . , uk ). Es decir, que una forma multilineal es una aplicaci´n, a valores en K, que depende de varios o vectores y es lineal en cada uno de ellos. O dicho de otra manera: fijando todas las variables vectoriales menos una cualquiera, se obtiene una forma lineal de E.1.2.

Expresi´n de una forma multilineal en una base. o

Al igual que ocurr´ con las aplicaciones lineales, cada forma multilineal va a quedar caracterizada ıa por su actuaci´n sobre los elementos de una base de E; en efecto, sea o B = (e1 , . . . , en ) una base de E; sean los n × k elementos de K ai1 ,i2 ,...,ik = ϕ(ei1 , ei2 , . . . , eik ) para todos los valores ij = 1, 2, . . . , n , j =1, 2, . . . , k.
n

En efecto, si uj ∈ E, uj =
i=1 n

xji ei , y, por tanto,
n n n

ϕ(u1 , . . . , uk ) = ϕ
i1 =1

x1i1 ei1 , . . . ,
in =1 n

xkik eik

=
i1 =1

x1i1 · · ·
ik =1

xkik ϕ(ei1 , . . . , eik ) =

=
i1 ,...,ik =1

x1i1 . . . xkik ϕ(ei1 , . . . , eik ).

1

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Corolario.- Si una forma multilineal se anula sobretodos las k-uplas formadas por vectores de una base (o cualquier sistema generador) de E, entonces es la forma multilineal nula.

1.3.

Formas multilineales alternadas.

Definici´n.- Una forma multilineal ϕ : E k → K se dice alternada si ∀i, j ∈ {1, . . . , k}, ∀u, v, uj ∈ o E, ϕ(u1 , . . . , u , . . . , v , . . . , uk ) = −ϕ(u1 , . . . , v , . . . , u , . . . , uk ),
i) j) i) j)

esdecir, el valor de la funci´n cambia de signo cuando se intercambian los valores de dos cualesquiera o de sus variables vectoriales.

Corolario.- Si ϕ : E k → K es una forma multilineal alternada, entonces ∀u ∈ E, ϕ(. . . , u, . . . , u, . . .) = 0, es decir, se anula siempre que se repita alguna de sus variables vectoriales. No es dif´ demostrar que, cuando el cuerpo de escalares es R o C, se cumpleel rec´ ıcil ıproco del resultado anterior, es decir: Proposici´n.- Toda forma multilineal que cumpla que ϕ (. . . , u, . . . , u, . . .) = 0 ∀u ∈ E es altero nada. En lo sucesivo, nos ocuparemos de formas multilineales alternadas de orden n igual a la dimensi´n o del espacio.

2.

Construcci´n de la funci´n determinante. o o

2.1.

Existencia y unicidad.

Teorema.- Si (e1 , . . . , en) es una base de E, para cualquier α ∈ K, existe una unica forma multi´ lineal alternada ϕ de orden n sobre E tal que ϕ(e1 , e2 , . . . , en ) = α.

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Demostraci´n.- Es obvio que, si ϕ : E n → K es multilineal y alternada, y puesto que al aplic´rsela o a a vectores repetidos el resultado es nulo, entonces ϕ queda caracterizada por los n! escalaresϕ(eσ(1) , eσ(2) , . . . , eσ(n) ), ∀σ ∈ Sn , es decir, por los valores de ϕ sobre todas las posibles permutaciones de los elementos de la base. Pero, como toda permutaci´n es producto de transposiciones, y, debido a la alternancia, si τ es o una transposici´n, o ϕ(eτ (1) , eτ (2) , . . . , eτ (n) ) = −ϕ(e1 , e2 , . . . , en ), se tiene que, para cualquier permutaci´n σ ∈ Sn , o ϕ(eσ(1) , eσ(2) , . . . ,eσ(n) ) = sgn(σ)ϕ(e1 , e2 , . . . , en ) en donde sgn(σ) = (−1)N siendo N el n´mero de transposiciones de cualquier descomposici´n de σ u o (recu´rdese que todas las descomposiciones tienen la misma paridad). e Por lo tanto, concluimos que la forma multilineal alternada queda caracterizada por el unico valor ´ ϕ(e1 , e2 , . . . , en ).

Corolario.- Existe una unica forma multilineal...