la parabola

LA PARÁBOLA

Se le llama parábola al conjunto de puntos cuyas distancias a un punto fijo y a
una recta fija, llamados foco y directriz respectivamente, sean iguales.

ELEMENTOS DE LA PARÁBOLA: VERTICE, FOCO, DIRECTRIZ,
PARAMETRO Y LADO RECTO

Al igual que en las ecuaciones estudiadas anteriormente, la parábola cuenta con una serie de elementos o parámetros que son básicos para sudescripción,
mismos que se definen a continuación:
VÉRTICE (V): Punto de la parábola que coincide con el eje focal.
EJE FOCAL (ef): Línea recta que divide simétricamente a la parábola
en dos ramas y pasa por el vértice.
FOCO (F): Punto fijo no perteneciente a la parábola y que se ubica en el
eje focal al interior de las ramas de la misma y a una distancia p del
vértice.
DIRECTRIZ (d): Línea rectaperpendicular al eje focal que se ubica a
una distancia p del vértice y fuera de las ramas de la parábola.
DISTANCIA FOCAL (p): Magnitud de la distancia entre vértice y foco,
así como entre vértice y directriz.
CUERDA: Segmento de recta que une dos puntos cualesquiera,
Pertenecientes a la parábola.
CUERDA FOCAL: Cuerda que pasa por el foco.
LADO RECTO (LR): Cuerda focal que esperpendicular al eje focal.


LA PARABÓLA

Definiciones
i. Sea DD una recta dada del plano y F un punto del plano que no está en la recta dada. Se define la parábola como el lugar geométrico de los puntos P del plano cuya distancia al punto F es igual a la distancia a larecta DD.
ii. La recta dada DD se llama DIRECTRIZ y el punto F se llama FOCO (fig. 6.1.1.) Frecuentemente se hace referencia a laparábola de directriz DD y de foco F y se denota por PDD-F.
Esto es:
PDD-F={P:PFF=PD}={P:PF = 1}
PD


fig. 6.1.1.
Observaciones:
i. Al trazar por F la perpendicular a la directriz. Se llamará : la distancia del foco a la directriz.
ii. Sea V el punto medio del segmento . Como , entonces el punto V pertenece a la parábola. V es llamado VERTICE de la parábola.
El lugar correspondientea la parábola es simétrico respecto a la recta . En efecto, si P’ es el simétrico de P respecto a la recta , entonces PP’’ = P’’P’. Por lo tanto, el triángulo PP’’F es congruente al triángulo P’P’’F. De donde P’F = PF y como P’D’ = PD, entonces, , lo cual nos muestra que P’ e PDD-F.
6.1.1. Ecuaciones Analíticas de la Parábola
En esta sección sólo se considerarán parábolas con el vértice V enel origen de coordenadas y cuyos focos estarán localizados sobre los ejes x ó y (fig. 6.1.2.)


fig. 6.1.2.
Sea P(x, y) un punto de la parábola PDD-F (fig 6.1.2 b)entonces, .
Pero, y
Luego,
Elevando al cuadrado ambos miembros de la última igualdad, y desarrollando los binomios, se obtiene: , y simplificando queda finalmente,
(1)
Recíprocamente, sea P(x, y) un punto del plano, cuyascoordenadas (x, y) satisfacen (1) y pruebe que P e PDD-F.
Por hipótesis, (2)
Se debe probar que



De esta forma se ha demostrado la parte i del siguiente teorema.
TEOREMA 1 (Ecuaciones de la Parábola)
i. La ecuación de la parábola que tiene su foco en F(p/2, 0) y por directriz la recta x = -p/2 (fig. 6.1.4) viene dada por : y2=2px(3). Recíprocamene si un punto P del plano, satisface(3) entonces P x PDD-F
ii. La ecuación de la parábola que tiene su foco en F(0, p/2) y por directriz la recta y = -p/2 (fig. 6.1.3.) es: x2 = 2py (4)
iii. Recíprocamente, si un punto P del plano, satisface (4) entonces P x PDD-F


fig. 6.1.3.



fig. 6.1.4.

Observaciones:
i. En la fig. 6.1.3. aparecen las gráficas de dos parábolas abiertas hacia arriba (en el caso de p>0) y haciaabajo (p 0) e izquierda (p < 0) respectivamente, con focos en el punto F(p/2, 0) y cuya directriz es la recta de ecuación x = -p/2. Además todos sus puntos son simétricos con respecto al eje x, de aquí que las ecuaciones que representan sus lugares geométricos, poseen únicamente a la variable y elevada a su potencia par.
6.1.2. Traslación de Ejes
En el ejemplo 5 de la sección 5.6., se...