La Parabola

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2.1 DEFINICION. Una parábola P es el conjunto de todos los puntos de1 plano que equidistan de una recta fija i y de un punto fijo F fuera de la recta. Así, L
P = {P E IR2 1 distancia de P a L = distancia de P a F} Supongamos que las coordenadas de los puntos P y

F referidas al sistema cartesiano XY sean
P = ( x, y ) y ~ = ( f ,f,), y que la ecuación de la , recta & sea Ax + By + C = O. Entonces la ecuación

de la parábola será:

En relación a la partibola, establecemos lo siguiente:

(1) Se llama directriz de la pardbola a la recta L. (2) Se llama fmo de la pardbola al punto F. (3) Se llama eje de la parábola a la recta X' que pasa por el foco y es perpendicular a la directriz.www.librospdf1.blogspot.com

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X' y L se intersecan en un punto Q, y el punto medio V del segmento [Q, F ]
pertenece a la parábola. (4) El punto V = i ( Q + F ) recibe el nombre de vdrtice de la parábola.

2.3 ECUACION D LA PARABOLA CON EJE PARALELO A E UN E E D COORDENADAS J ETEOREMA.

1) La ecuación de la parábola con vértice V = (h, k ) y eje paralelo al eje X es
(y - k)"

L
(y - k ) = 4 p ( x - h )

4p(x - h )
F
I

donde

= ( h + p,

k)

P = abscisa del foco - abscisa del vértice.
E n este caso, el foco es F = (h + p, k)
y la directriz

X'

L: x = h - p .

T*
x=h-p

2) La ecuación de la parábola con vértice V = (h, k) y eje paralelo aleje Y es
(X

Parabola con eje paralelo al eje X

- h)2 = 4 p ( y - k)

P =(ordenada del foco - ordenada del vértice). E n este caso, el foco es F = (h, k + p) y la directriz es L: y = k - p
donde,

2.4 ECUACION VECTORIAL D LA PARABOLA E
Sea V el vértice y F el foco de una parábola P. Consideremos un sistema de coordenadas cartesianas X Y ' como sigue. Sean

1) U , u n vector unitarioparalelo al vector F-V. F-V F-V Así, z i puede ser -o IF-VI IF-VI
2) iii ,el vector ortogonal a 6 . Así, si ii = ( a ,b) entonces ii' = (-b, a ) .
Geométricarnente, iii se obtiene rotando el vector z i un hngulo de 90' en el sentido antihorario.

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La Parábola

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3) p, el número real que cumple F - V = pü .

4) XY' , el sistema de coordenadas cartesianas con origen en el vértice V, eje X' orientado en el sentido de ü y eje Y', orientado en el sentido de iiL

Observemos que si (x',yt) son las coordenadas de un punto P del plano referidas al sistema X Y ' ,entonces P=V+X'Ü+~'Ü~ Enefecto, P = V + S Se cumple elsiguiente TEOREMA. Un punto P del plano se encuentra en la parabola IP si y solamente si satisface la ecuación P =V+X'Ü+~'Ü' con y '2 = 4px1, x',yf E IR o equivalentemente, si es de la forma con y'
ER

y

~=x'Ü+y'zi'

arbitrario

2.5 PROBLEMAS RESUELTOS
PROBLEMA 1. Hallar la ecuación de la parábola con foco F = (1,l) y directriz L: x + y + 2 = 0 .
SOLUCION. Sea P = (x, y) un punto de laparábola. Se tiene entonces por definición distancia de P a L = distancia de P a F l x + y + 2 1 = [(x - I ) ~ +(y

\m 1
2 2

- 1)2li

Elevando al cuadrado resulta

i ( x 2 + y 2 + 4 + 2xy + 4x + 4y) = x2 + y2 - 2x - 2y + 2 x + y -2xy-8x-8y
= O

R S U S A x2 + y 2 - 2xy - 831- 8y = 0 . EPET. PROBLEMA 2. Probar que la ecuación de la parábola con vértice V = (h, k) y eje

paralelo al eje Xes (y - k)2 = 4 p ( x - h) , donde
p = absisa del foco

- abscisa del vértice

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SOLUCION. El foco de la parábola es F=(h+p,k) En efecto, por definición de p, abscisa del foco = p + abscisa del vértice = p + h , ordenada del foco...