la recta geometria descriptiva

LA RECTA
1.1 Recta en el Espacio Tridimensional
Dado un punto P0 (x0 , y0 , z0) y un vector a = (a1 , a2 , a3) no nulo, llamaremos recta que pasa por P0 (x0 , y0 , z0) paralela al vector a = (a1 , a2 , a3) al conjunto.
L = {p ϵ R3 / P = P0 + ta, t ϵ R}
1.2 Ecuacion Vectorial de la Recta
Sea L la recta que pasa por el punto P0 (x0, y0, z0) paralelo al vector a = (a1 , a2 , a3)
Si P(x, y, z)de r3 es un punto cualquiera de la recta L, entonces el vector P0P es paralelo al vector a pop // a ↔Ǝ t ϵ R tal que: PoP = t a, de donde P – Po= t a entonces P = Po + t a , por lo tanto la recta L es dado por:
L = { P = P0 + t a / t ϵ R} ECUACION VECTORIAL DE LA RECTA L
Observaciones
Para cada par de puntos distintos de r3 hay una y solo una recta que pasa por ellos.
Consideremos larecta L = { P0 + t a / t ϵ R} . Un punto P de R3 pertenece a la recta L si P = P0 + t a para algún t en R, es decir:
P ϵ L → P = P0 + t a para algún t real
1.3 Ecuacion Parametrica de la Recta en el Espacio
Consideremos la ecuación vectorial de l arecta L: L = { P0 + t a / t ϵ R} de la observación anterior se tiene P ϵ L↔P = P0 + t a para algún t ϵ R de donde al reemplazar por lascoordenadas de P, Po y de las componentes del vector a se tiene : (x, y, z) = (x0, y0, z0) + t (a1 , a2 , a3), es decir:
X = X0 + a1 t
L: Y = Y0 + a2 t, t ϵ R
Z = Z0 + a3 t
Las cuales se conocen con el nombre de ecuaciones paramétricas de la recta L.
Observacion.- Las ecuaciones paramétricas de la recta L que pasa por el par de puntosP1(x1, y1, z1) y P2(x2, y2, z2) esta dado por:
X = X1 + (x2 - x1) t
L: Y = Y1 + (Y2 - Y1) t, t ϵ R
Z = Z1 + (Z2 - Z1) t
1.4 Ecuacion Simetrica de la Recta
Consideremos las ecuaciones paramétricas de la recta L.
X = X0 + a1 t
L: Y = Y0 + a2 t, t ϵ R
Z = Z0 +a3 t
Suponiendo que a1 ≠ 0, a2 ≠ 0, a3 ≠ 0, despejando el parámetro t de ecuación tenemos de donde por igualdad que se denomina ecuación simétrica de la recta L.
1.5 Rectas Paralelas y Ortogonales
Las relaciones de paralelismo y ortogonalidad entre dos rectas se da comparando sus vectores direccionales.
Consideramos las ecuaciones vectoriales de dos rectas.
L1= { p0 + t a / t ϵ R} y L2= {q0 + λ b / λ ϵ R}
La recta L1 y L2 son paralelas (L1 // L2) si y solo si sus vectores direccionales son paralelo es decir:
L1 // L2 ↔ a // b
La recta L1 y L2 son ortogonales (L1 ┴ L2) si y solo si sus vectores direccionales son ortogonales es decir:
L1 ┴ L2 ↔ a ┴ b
1.6 Angulo entre dos rectas
Consideremos las ecuaciones de dos rectas L1= [P0 + ta/t ϵ R] y L1= [Q0 + tb/t ϵ R]. Un ánguloentre las rectas L1 y L2 se define como el ángulo formado por sus vectores direccionales a y b, es decir ángulo (L1, L2) = ángulo (a, b) = ө, y es dado por la formula
= , 0 < ө < π
Ejemplo: encuentre un ángulo formado por las rectas:
L1=[ (1,3,-2) + t(3,6-,9) /t ϵ R ] y L2=[(2,1,7) + λ(1,-3,4)/ λ ϵ R ]
Como ө= ángulo (L1, L2) = ángulo (a, b) donde a = (3,6-,9), b = (1,-3,4) entonces
= = =.= 0.99587 donde ө = arccos (0.99587)
Distancia mínima entre dos rectas (rectas que se cruzan)
Si L1= [P0 + ta/t ϵ R] y L1= [Q0 + λb/ λ ϵ R] son dos rectas no paralelas (rectas que se cruzan), entonces a la distancia mínima entre las rectas L1 y L2 denotaremos por d (L1, L2) y es definido como el segmento perpendicular común a ambas rectas.
Si las rectas L1 y L2 se cruzan, quiere decir queexisten planos paralelos que contienen a las rectas L1 y L2, respectivamente.
Si d es la distancia entre los planos P1 y P2 donde N es la normal al plano P2; por lo tanto N es ortogonal a los vectores a y b entonces N = axb.
Ahora consideremos el vector unitario en la dirección de la normal N; UN = y como ө = ángulo (UN, AC) entonces
Cos ө = de donde UN.AC = Cos ө
Por otro lado en el...