la recta y el plano vectorial







APUNTES

CÁLCULO VECTORIAL

ESIME ZACANTENCO

La recta y el plano

Juan Alfaro Yllescas – Francisco Muñoz Apreza

Modulo I La recta y el plano


CONJUNTO DE ECUACIONES DE LA RECTA

Postulado de Los Elementos de Euclides:

Una línea recta puede ser dibujada uniendo dos puntos cualquiera.

Ecuación vectorial de la recta
Para determinar la ecuaciónvectorial de una recta es necesario que conozcamos un punto de la recta y un vector de posición o dos puntos de la recta. Vamos a hallar la ecuación a partir de un punto y un vector de posición, si tuviésemos dos puntos A, B entonces el vector AB es un vector de posición.

La ecuación de una recta es una expresión analítica que permite identificar todos los puntos de la recta.y

















Dados un punto de la recta y un vector de dirección, un punto que genera a la recta tendrá como vector de posición .

Es claro que , como el vector y están en la misma dirección existe un número tal que , por tanto esta expresión se conoce como ecuación vectorial de la recta.
Ecuación vectorial de la recta



Halla laecuación vectorial de la recta que pasa por y tiene como vector de dirección





Calcula la ecuación vectorial de la recta que pasa por los puntos P=(-2,3) y Q=(1,4)

Para determinar la ecuación vectorial necesitamos un punto y un vector de dirección, el punto lo tenemos y un vector de dirección se puede determinar a partir de dos puntos de la recta , luego la ecuación vectorial es



Hallala ecuación vectorial de la recta que pasa por los puntos y

Definimos una recta L como el conjunto de los puntos del plano, alineados con un punto P y con una dirección dada por el vector .
Si P(x1, y1) es un punto de la recta L, el vector tiene igual dirección que , luego es igual a multiplicado por un escalar:




Una recta pasa por el punto A(-1, 3) y tiene un vector director =(2,5). Escribir su ecuación vectorial.



Definición


 Si es una recta que pasa por los puntos

Si realizamos da diferencia de las coordenadas de estos dos puntos obtenemos
Un vector que va del punto P al punto Q, así obtenemos



Queda de la siguiente manera



y si ponemos entonces
 
1. La ecuación vectorial de es



Lo cual lo podemos entender que el punto estadeterminado por
La suma del punto más el producto del escalar t que multiplica al vector de dirección de la recta. Considerando que esta punto puede ser cualquier punto de la recta.
2. Despejando obtenemos las ecuaciones paramétricas de

3. Si cada, despejando obtenemos las ecuaciones simétricas de la recta .




Otra forma de expresar la ecuación vectorial de la recta puede ser de lasiguiente manera:

Donde P ( x , y, z) es un punto arbitrario de la recta y
luego,
V , es el vector director de la recta.

Ecuación vectorial

Ecuaciones paramentricas

Ecuaciones Simétricas o rectangulares




II ECUACION DE LA RECTA EN FORMA SIMETRICA


1) Ecuación de la recta que pasa por los puntos A (1, 4, -9); B (10, 14, -2)
de Aa B
V = A - BSolución
a1= ( x2 –x1 )=(10-1)=9
a2= ( y2 –y1 )=(14-4)=10
a3= ( z2 –z1 )=(-2+9)=7
Vector director de la recta

FORMA SIMETRICA




2)Ecuación de la recta que pasa por los puntos A (4, 2, 1); B (-7, 2, 5)
Solucion
de Aa B
V = A - B
a1= ( x1 –x2 )=(4+7)=11
a2= ( y1 –y2 )=(2-2)=0
a3= ( z1 –z2 )=(1-5)=-4


FORMA SIMETRICA3) Ecuación de la recta que pasa por los puntos A (1, 2, 3); B (-6, 4, -3)
de Aa B
V = A - B

a1= ( x2 –x1 )=(-6-1)=-7
a2= ( y2 –y1)=(4-2)=2
a3= ( z2 –z1 )=(-3-3)=-6


FORMA SIMETRICA



III ECUACION DE LA RECTA EN FORMA PARAMETRICA


ENCONTRAR LAS ECUACIONES PARAMÉTRICAS DE LA RECTA QUE PASA POR LOS PUNTOS:...