Recta y plano en r3

INTRODUCCIÓN

Considerando el tema a tratar “Plano y Recta en R^3”es conveniente introducir algunos conceptos básicos para su comprensión
Recta: En geometría euclidiana, la recta o línea recta, el ente ideal que se extiende en una misma dirección, existe en una sola dimensión y contiene infinitos puntos; está compuesta de infinitos segmentos (el fragmento de línea más corto que une dospuntos).

Plano: El plano, en geometría, es el ente ideal que sólo posee dos dimensiones, y contiene infinitos puntos y rectas; es uno de los entes geométricos fundamentales junto con el punto y la recta.

Espacio: El espacio geométrico puede considerarse como el conjunto de todos los puntos del universo físico. Así, todo punto, recta y plano está en el espacio.

Con estos conceptostrabajaremos en este trabajo, presentando la representación vectorial, simétrica, paramétrica del plano y la recta.
Así como los casos de intersección de recta y plano, los ángulos entre recta y plano, los casos de semejanza de recta y plano, paralelismo y perpendicularidad y la distancia que existe entre un punto cualquiera y un plano.

RECTA
Consideremos la recta L que pasa por P y por Q. Esta rectaes paralela al vector v ⃗= (PQ) ⃗, por lo tanto, dado un punto R =(x, y, z) ∈ L, se debe cumplir que
(PR) ⃗=tv,o sea R-P=tv ⃗ ;t ∈ R
de donde (x,y,z)= P +t v ⃗



DEFINICION
Si L es una recta que paso por los puntos P= (p1, p2, p3), Q= (q1, q2, q3), y si ponemos (v ) ⃗=Q-P entonces:

La ecuación vectorial de L es:

(x,y,z)=P+tv ⃗ ; t ℇ R

Despejando x, y ^ z obtenemos lasecuaciones paramétricas de L

x=p1+tv1
y=p2+tv2
z=p3+tv3

Si cada v_i ≠0 , despejando “t” obtenemos las ecuaciones simétricas de L

(x-p1)/v1=(x-p2)/v2=(x-p3)/v3

Ejemplo

Consideremos la recta L que paso por P = (1, 3, -2) y Q = (2, 1, -2)

En este caso v ⃗=Q-P=(1,-2,0) , luego



ANGULO, PARELELISMO, PERPENDICULARIDAD E INTERSECCION
Consideremos dos rectas,

L_1∥L_2 si y sólo si v ⃗ ∥w ⃗

L_1 ⊥L_2 si y sólo si v ⃗ ⊥w ⃗

El angulo entre L_1 y L_2 es igual al angulo entre v ⃗ y w ⃗

Como podemos escoger dos puntos cualesquiera (distintos) de una recta , las ecuaciones nos son únicas.
Consideremos el sistema P + tv = Q + sw , o sea,


Si este sistema tiene solución, entonces esta solución nos da el o los puntos de intersección L1 y L2.Como el sistema es lineal puede pasar que

Hay solución única : las rectas se intersecan en un solo punto
Hay infinitas soluciones: las rectas coinciden
No hay solución: las rectas no se intersecan

PLANO

Así como una recta está determinada por dos puntos distintos, un plano está determinado por tres puntos no colineales.
Una manera muy conveniente de obtener una ecuación de un planoπ en R^3, que pasa por los puntos P, Q y R; es observar que los puntos (x, y, z) ℇ π tienen la propiedad
[(x,y,z)-P] .((QP) ⃗×(RP) ⃗ )=0
Esta ecuación es una ecuación normal de π

Si ponemos N ⃗= (QP) ⃗ ×(RP) ⃗=(a,b,c) y desarrollamos la ecuación anterior obtenemos la ecuación cartesiana de π
ax+by+cz=N ⃗.P
Finalmente, podemos observar que si (x, y, z) está en π, entonces(x,y,z)=P+t(QP) ⃗+s(RP) ⃗ ;t,s ℇ R
Esta es una ecuación vectorial de π

DEFINICION

Consideremos un plano π que pasa por los puntos no colineales P, Q, R.
1. N ⃗= (a,b,c) es una vector normal al plano π si N ⃗.[(x,y,z)-P]=0 para cualquier (x,y,z) ℇ π

2.- Si N ⃗= (a,b,c) es una vector normal al plano π entonces
N ⃗.[(x,y,z)-P]=0
se llama ecuacion normal del plano π

3. Si N ⃗= (a,b,c) es unvector normal del plano π entonces:
ax+by+cz=N ⃗.P
se llama ecuación normal del plano π

4. Si v ⃗= (PQ) ⃗ y si w ⃗= (PR) ⃗ entonces
(x,y,z)=P+tv ⃗+sw ⃗ ;t,s ℇ R
se llama ecuación vectorial del plano π

Tres puntos P=(p1,p2,p3),Q=(q1,q2,q3) y R=(r1,r2,r3) ℇ R^3 (estos puntos forman un plano) son no colineales entre si
|■(p1&p2&p3@q1&q2&q3@r1&r2&r3)| ≠ 0

PARALELISMO,...