La vida de ayer

FLUIDOS EN MOVIMIENTO Y ECUACIÓN DE BERNOULLI

El flujo de un fluido puede ser en general muy complicado. Consideremos, por ejemplo el humo que asciende de un cigarro encendido.A1 principio el humo se eleva con una forma regular, pero pronto aparecen turbulencias y el humo empieza a ondear de forma irregular. El flujo turbulento es muy difícil de estudiar y, por consiguiente, solo estudiaremosel flujo en estado estacionario. Consideremos en primer lugar un fluido que fluye sin disipación de energía mecánica. Dicho fluido se denomina no viscoso. Supondremos también que el fluido es incompresible, y por tanto, su densidad es constante. Puede verse en el dibujo un fluido que circula por un tubo cuya sección recta tiene un área variable.

La parte sombreada de la izquierda (zona 1)representa un elemento de volumen de líquido que fluye hacia el interior del tubo con una velocidad vl. El área de la sección recta del tubo en esta zona es Al. El volumen de líquido que entra en el tubo en el tiempo Δt es ΔV = Al.vl.Δt
Como estamos admitiendo que el fluido es incompresible, debe salir del tubo en la zona 2 un volumen igual de fluido. Si la velocidad del fluido en este punto esv2 y el área correspondiente de la sección recta vale A2, el volumen es ΔV=A2.v2.Δt. Como estos volúmenes deben ser iguales, se tiene A1.v1.Δt. = A2.v2.Δt., y por tanto

Ecuación de continuidad.

El producto Q = Av es una magnitud denominada flujo de volumen Q, gasto o caudal. Las dimensiones de Q son las de volumen/tiempo (p.e. litros por minuto) En el flujo estacionario de un fluidoincompresible, el caudal es el mismo en todos los puntos de fluido.

Ejemplo
La sangre circula por una arteria aorta de 1,0 cm de radio a 30 cm/s. ¿Cuál es el flujo de volumen?
Q = vA = 0.30.π.(0,01)2 = 9.4210-5m3/s
Es costumbre dar la velocidad de bombeo del corazón en litros por minuto. Utilizando 1 litro = 10-3 m3 y 1 min = 60 s, se tiene
Q=(9.4210~5 m3/s) (103).(60/1) = 5.65 litros/minuto

Laaltura y sección del tubo van variando como se indica en el dibujo, por tanto, para el líquido:
La variación (ganancia o pérdida) de energía potencial al ascender (o descender) por el tubo es ΔU = mg(y2-y1) = ρVg(y2-y1)
La variación de energía cinética del líquido es [pic], que en función de la densidad [pic]ρV(v22-v12) (siendo v la velocidad del fluido)
El trabajo realizado por las fuerzasnecesarias para mantener la presión suficiente para que el líquido suba es W=(P1-P2)V= ΔPV. Siendo ΔP la caída o diferencia de presiones en los extremos del tubo
Aplicando el teorema trabajo-energía y la ecuación de continuidad, se tiene
P1+ρgy1+1/2ρv12 = P2+ρgy2+1/2ρv22
es decir:
P+ρgy+1/2ρv2 = constante
Lo que significa que esta combinación de magnitudes calculada en un punto determinado de latubería tiene el mismo valor que en cualquier otro punto. La ecuación anterior se conoce como ecuación de Bernoulli para el flujo constante y no viscoso de un fluido incompresible. Sin embargo, la ecuación de Bernoulli se aplica en muchos casos a fluidos compresibles como los gases.
Una aplicación especial de la ecuación de Bernoulli es la que se tiene cuando el fluido está en reposo. Entonces vl= v2 = 0 y se obtiene
P1-P2=ρg(y2-y1) = ρgh
en donde h=y2-yl es la diferencia de altura entre dos puntos (algo que ya vimos anteriormente).

Ejemplo

Un depósito grande de agua tiene un orificio pequeño a una distancia h por debajo de la superficie del agua. Hallar la velocidad del agua cuando escapa por el orificio.

Aplicando la ecuación de Bernoulli a los puntos a y b de la figura ycomo el diámetro del orificio es mucho menor que el diámetro del deposito, podemos despreciar la velocidad del agua en su parte superior (punto a). Se tiene entonces
Pa+ρgya = Pb+ρgyb+1/2ρvb2
Como tanto el punto a como el b están abiertos a la atmósfera, las presiones Pa y Pb son ambas iguales a la presión atmosférica. Por tanto,
vb2 =2g(ya-yb) = 2gh ; vb = [pic]
el agua sale del orificio con...