Laboratorio de biología molecular i

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Cuádricas

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Definición
Una cuádrica es el lugar geométrico de los puntos del espacio (x,y,z) que verifican una ecuación de segundo grado del tipo

La ecuación de una cuádrica se puede escribir en forma matricial como

donde

Denotaremos por  la matriz que define la cuádrica y por A00 la matriz adjunta del elemento a00 en A.
Clasificación
Las cuádricas seclasifican de acuerdo a su signatura , es decir, el módulo de la diferencia entre el número de autovalores positivos y negativos de A00. Sin embargo, para calcular la signatura de la cuádrica no es necesario diagonalizar la matriz, debido a la existencia de unas cantidades invariantes asociadas a A00 que permiten determinar  sin necesidad de calcular explícitamente sus autovalores. Veámoslo: 
losautovalores son las raíces del polinomio característico, es decir, las soluciones de la ecuación . Ahora bien, 
con 

Cuando los tres autovalores de  A00 son no nulos, es decir, det A00 0, si escribimos la sucesión K, J, I, 1 y denotamos por P y V el número de permanencias y variaciones de signo que hay en ella, respectivamente, entonces |P-V| = . Los valores I, J, K se conocencomo invariantes de la cuádrica. De esta forma se tiene:
1. Si  = 3 :
1. det A > 0 ---> elipsoide real
2. det A < 0 ---> elipsoide imaginario (no existen puntos reales que verifican la ecuación)
3. det A = 0 ---> cono imaginario
2.  Si  = 1 :
4. det A > 0 ---> hiperboloide hiperbólico (de una hoja)
5. det A < 0 ---> hiperboloide elíptico (dedos hojas)
6. det A = 0 ---> cono real
Si alguno de los autovalores es nulo (det A00  = 0)  pero el determinante de A es distinto de cero, entonces;
1. Si  J > 0 ---> paraboloide elíptico
2. Si  J < 0 ---> paraboloide hiperbólico
Si  det A = det A00 = 0, hay que introducir nuevos invariantes para completar la clasificación

donde Aii representa la matriz adjuntadel elemento aii en A para  i=1,2,3.
Con estos nuevos invariantes se tiene
1.  J > 0
1. K' 0 y signo K' = signo I   ---> cilindro elíptico imaginario
2. K' 0 y signo K'  signo I   ---> cilindro elíptico real
3. K' = 0  ---> par de planos imaginarios secantes
2. J < 0
4. K' 0   ----> cilindro hiperbólico
5. K' = 0   ----> par deplanos reales secantes
3. J = 0 y I 
6. K' 0   ----> cilindro parabólico
7. K' = 0  y  J' > 0   -- --> par de planos imaginarios paralelos distintos
8. K' = 0  y  J' < 0   -----> par de planos reales paralelos distintos
9. K' = 0  y  J' = 0    ----> par de planos coincidentes
En la tabla siguiente se resume la clasificación anterior:
  
 Clasificación de las Cuádricas |
 det A00 0 |  = 3 | det A > 0       Elipsoide Real |
det A < 0      Elipsoide Imaginario |
det A = 0       Cono Imaginario |
|
 = 1 | det A > 0       Hiperboloide Hiperbólico |
det A < 0      Hiperboloide Elíptico |
det A = 0       Cono Real |
|
|
det A00 = 0 | det A0 |  J > 0      Paraboloide Elíptico |
 J <0      Paraboloide Hiperbólico |
|
det A = 0 |  J > 0 |  K' 0 , signo K' = signo I Cilindro elíptico imaginario |
 K'  0 , signo K'  signo I     Cilindro elíptico real |
 K' = 0         Par de planos imaginarios secantes |
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 J < 0 |  K'  0    Cilindro hiperbólico |
 K' = 0      Par de planos reales secantes |
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 J = 0 I  0 |  K'  0    Cilindro Parabólico |
 K' = 0, J'> 0   Par de planos imaginarios paralelos distintos |
 K' = 0, J' < 0   Par de planos reales paralelos distintos |
 K' = 0, J' = 0   Par de planos coincidentes |
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Centro
Plano polar:  Dado un punto P = (x0,y0,z0)  IR3  se define el plano polar  de P respecto a la cuádrica de matriz A como el plano de ecuación 

Si P pertenece a la cuádrica, entonces el plano...
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