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Método de la biseccion

Este es uno de los métodos más sencillos y de fácil intuición para resolver ecuaciones en una variable. Se basa en el Teorema de los Valores Intermedios (TVI), el cual establece que toda función continua f es un intervalo cerrado [a,b]. Toma todos los valores que se hallan entre f(a) y f(b). Esto es que todo valor entre f(a) y f(b) es la imagen de al menos un valor en elintervalo [a,b]. En caso de que f(a) y f(b) tengan signos opuestos, el valor cero sería un valor intermedio entre f(a) y f(b), por lo que con certeza existe un p en [a,b] que cumple f(p)=0. De esta forma, se asegura la existencia de al menos una solución de la ecuación f(a)=0.

El método consiste en lo siguiente: de antemano, debe existir seguridad sobre la continuidad de la función f(x) en elintervalo [a,b]. A continuación se verifica que [pic]. Se calcula el punto medio m del intervalo [a,b] y se evalúa f(m) si ese valor es igual a cero, ya hemos encontrado la raíz buscada. En caso de que no lo sea, verificamos si f(m) tiene signo opuesto con f(a) o con f(b). Se redefine el intervalo [a, b] como [a, m] ó [m, b] según se haya determinado en cuál de estos intervalos ocurre un cambio designo. Con este nuevo intervalo se continúa sucesivamente encerrando la solución en un intervalo cada vez más pequeño, hasta alcanzar la precisión deseada. En la siguiente figura se ilustra el procedimiento descrito.

El método de bisección es menos eficiente que el método de Newton, pero es mucho más seguro para garantizar la convergencia. Si f es una función continua en el intervalo [a, b]y f(a)f(b) < 0, entonces este método converge a la raíz de f. De hecho, una cota del error absoluto es:

[pic]

en la n-ésima iteración. La bisección converge linealmente, por lo cual es un poco lento. Sin embargo, se garantiza la convergencia si f(a) y f(b) tienen distinto signo.

Si existieran más de una raíz en el intervalo entonces el método sigue siendo convergente pero no resulta tanfácil caracterizar hacia qué raíz converge el método.

[editar]Algoritmo

Para aplicar el método consideremos tres sucesiones [pic] definidas por las siguientes relaciones:

[pic]

Donde los valores iniciales vienen dados por:

[pic]

Se puede probar que las tres sucesiones convergen al valor de la única raíz del intervalo:

[pic]

Método de la secante

[pic]

[pic]

Dos primerasiteraciones del método de la secante.

En análisis numérico el método de la secante es un método para encontrar los ceros de una función de forma iterativa.

Es una variación del método de Newton-Raphson donde en vez de calcular la derivada de la función en el punto de estudio, teniendo en mente la definición de derivada, se aproxima la pendiente a la recta que une la función evaluada en elpunto de estudio y en el punto de la iteración anterior. Este método es de especial interés cuando el coste computacional de derivar la función de estudio y evaluarla es demasiado elevado, por lo que el método de Newton no resulta atractivo.

En otras palabras, el método de la secante es un algoritmo de la raíz de investigación que utiliza una serie de raíces de las líneas secantes para aproximarmejor la raíz de una función f. El método de la secante se puede considerar como una aproximación en diferencias finitas delmétodo de Newton-Raphson. Sin embargo, este método fue desarrollado independientemente de este último.

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[editar]El método

El método se define por la relación de recurrencia:

[pic]

Como se puede ver, este método necesitará dos aproximaciones iniciales de laraíz para poder inducir una pendiente inicial.

[editar]Derivación del método

El método se basa en obtener la ecuación de la recta que pasa por los puntos (xn−1, f(xn−1)) y (xn, f(xn)). A dicha recta se le llama secantepor cortar la gráfica de la función. En la imagen de arriba a la derecha se toman los puntos iniciales x0 y x1, se construye una línea por los puntos (x0, f(x0)) y...
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