Lagrange

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Matemáticas para Ingeniería 3
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Aplicación de los multiplicadores de Lagrange
Datos Biográficos: Descubierto por Joseph Louis Lagrange quien fue unmatemático francés de origen italiano. Escribió además “Miscellanea taurinensia”, la cual es una ecuación diferencial que describe el movimiento rectilíneo utilizada para laresolución de problemas de dinámica. Escribió gran variedad de tratados sobre astronomía, resolución de ecuaciones, cálculo de determinantes de segundo y tercer orden,ecuaciones diferenciales y mecánica analítica. Murió en Paris el año de 1813.
Los Multiplicadores de Lagrange: Se conoce de esta forma al procedimiento que se utiliza para encontrarlos máximos y mínimos de funciones de varias variables que están sujetas a ciertas restricciones.
Se da una función de la forma: la cual puede contar con “n” numero devariables, y se da una restricción de la forma: donde “k” es una constante y representa el numero de restricciones.
Cuando las curvas de nivel de g y de f se cruzan a este puntose le conoce como “punto critico” y para determinarlo se utiliza el gradiente de cada una de estas funciones. Ya que el vector gradiente de f y de g son paralelos se da laecuación: donde “landa” representa lo mismo que “k” o sea la constante y de esta forma se resuelve el sistema.

a) Resuelve el problema siguiente:

La función deproducción de Cobb-Douglas para un fabricante de software está dada por

donde x representa las unidades de trabajo, a $150 por unidad, y y representa las unidades de capital, a$250 por unidad. El costo total de trabajo y capital está limitado a $50 000. Usa multiplicadores de Lagrange para hallar el nivel máximo de producción de este fabricante
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