Laguerre

Los polinomios de Laguerre son una familia de polinomios ortogonales, llamados así en honor de Edmond Laguerre, surgen al examinar las soluciones a la ecuación diferencial:

Desarrollando  en seriede potencias se obtiene una relación de recurrencia entre coeficientes consecutivos como la que sigue:

Puede verse que siempre que n sea natural se anula el coeficiente de toda potencia mayor (ydistinta) que n. Esto es, una de las soluciones linealmente independientes es un polinomio de grado n (polinomio de laguerre de orden n, que notaremos por Ln(x)). Para encontrar la otra soluciónlinealmente independiente han de estudiarse las soluciones de la ecuación más general
.
El polinomio de Laguerre de orden n puede definirse como sigue:

Que tras desarrollar queda de la forma:algunos de estos polinomios son:
n | |
0 | |
1 | |
2 | |
3 | |
4 | |
5 | |
6 | |
Los polinomios de Laguerre también pueden ser definidos mediante la integral:

Integrando ensentido contrario a las agujas del reloj sobre cualquier camino cerrado en torno al origen del plano complejo y contenido en el disco |t| < 1.
La función generatriz de los polinomios de Laguerre vienedada por:

Cambiando el orden de los sumatorios, haciendo el cambio m = n - k y reordenando queda lo que a continuación:

Que sabiendo que , y después de reagrupar queda de la forma:

A partirde la función generatriz, despejando la exponencial y derivando respecto de t se puede llegar a una relación de recurrencia como la siguiente:

Conocidos los dos primeros polinomios (ver tabla) puedeutilizarse esta fórmula para obtener el de grado n.
os polinomios de Laguerre son ortogonales según el producto escalar:

No obstante podemos definir las funciones:

Que claramenteson ortonormales respecto del producto escalar ordinario:

Despejando de su definición los polinomios de Laguerre y sustituyendo en la ecuación de Laguerre obtenemos la ecuación diferencial que nos da estas...