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| 2012 |
| Estructuras Discretas IILairon Acosta * 09-10927
|

[Tarea 1] |
Universidad Simón Bolívar |

TAREA 1

Demuestre que P(A - B) (P(A) - P(B)) {}.

Prueba:

Sea x P(A - B), tenemos entonces que por el teorema de Partes de un Conjunto, el elemento x (A - B) , esto es, por axioma de diferencias que x A x B. Consideremos dos casos, si x x . Si x entoncestenemos que x {} ya que el único subconjunto de cualquier conjunto es el conjunto vacío. Ahora si x , entonces tenemos que todo elemento de x es elemento de A y no es subconjunto de B. Por lo tanto:
x (P(A) - P(B)) {}

2.
I) Dar un ejemplo de dos conjuntos A y B tales que (A)(B) (AB).

Sea A= {C, D} tales que C={a, b} y D={b}. También sea B={C, E, F} tales que E={z} y F={w}.

Se tieneentonces que A = {b} y B={}, por lo tanto (A)(B) = {}.

Por otra parte, se tiene que AB = {C} lo que implica que (AB) = {a, b}.

Por lo tanto se concluye que (A)(B) (AB).

II) Pruebe que (A)(B) (AB).

Prueba:

Sea x (A)(B) , debemos probar que x (AB). Como x (A)(B) , entonces x (A) x (B). Si x (A) , entonces x esta en todos los elementos de los elementos de A, de igualforma, si x (B), entonces x esta en todos los elementos de los elementos de B. Ahora, como x esta en todos los elementos de los elementos de AB, por consiguiente x (AB).

3. Dar ejemplos que muestren que las siguientes proposiciones son falsas:

I) P(A B) P(A) P(B)

Sea A = {a, b, c} y B = {b, d} entonces tenemos que A B = {a, b, c, d} y además que P(A B) ={{},{a},{b},{c},{d},{a,b},{a,c},{a,d},{b,c},{b,d},{c,d},{a,b,c},{a,b,d}………{a, b, c, d}}

Tenemos también que P(A) = {{},{a},{b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c} } y P(B) = {{},{a}, {b}, {b, d}}. Por consiguiente, P(A) P(B) = {{},{a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c} {b, d}}.

Por lo tanto P(A B) P(A) P(B) ya que existen elementos de P(A B) que no pertenecen a P(A) P(B).

II) P(A) - P(B) = P(A - B)Sea A = {a, b} y B = {b, c} entonces tenemos que A - B = {a}. También que P(A)={{a},{b},{a,b}} y P(B)={{b},{c},{b,c}} por tanto P(A - B) = {{a}} es distinto a P(A) - P(B) = {{a},{a,b}}.

4. A B (D)(D A C) (B C) (A C)

Prueba:

Sea x (B C) , debemos probar que x (A C).
Como x (B C) , entonces x esta en todos los elementos de los elementos de B C, por lo tanto x estaen todos los elementos de los elementos de B que es x B y de igual forma x esta en todos los elementos de los elementos de C que es x C. Aplicamos por casos, si x B , por hipótesis tenemos que AB y como existe un D A C, entonces x D, por tanto x (A C). Si x C, x esta en todos los elementos de los elementos de C y como existe un D A C, entonces x D, por tanto x (A C).

5. Use elaxioma de fundamentación para probar que

( A B B C C A )

Prueba:

Supongamos por absurdo que A B B C C A . Como { A, {B, C} } entonces por el axioma de fundamentación (x)[ x { A, {B, C} } (y)( y x y { A, {B, C} }) ]. Según esta proposición un de los elementos de { A, {B, C} } es tal que ninguno de los elementos de x, pertenece a { A, {B, C} }. Como { A, {B, C} } es un par,dicho elemento es A, B o C. Si es A, tenemos una contradicción, pues C pertenece a { A, {B, C} }. Si es B, tenemos una contradicción, pues A pertenece a { A, {B, C} } y si es C, tenemos una contradicción, pues B pertenece a { A, {B, C} }. Luego, es falso que A B B C C A .

6. Demostrar las siguientes proposiciones:

I) A, B = A

Prueba:

(Por doble contención)
() Sea x A, B ,como A, B = { A, { A, B}}, entonces por definición de intersección se tiene que A, B = {A}, luego nuevamente por intersección se tiene que A, B = {A} = A, por tanto x A.

() Sea x A, por teorema de intersección se tiene que {A} = A, ahora por definición se tiene de igual forma que A, B = {A}, por tanto x A, B .

II) [ A, B ] [ A, B - A, B ] = B

Prueba:

(Por doble...
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