Las Aplicaciones Estadísticas Fueron Las Que Motivaron El Estudio De Sucesiones De Variables Aleatorias Al Considerar Tamaños De Muestra Grandes Para Hacer Inferencias

 Las aplicaciones estadísticas fueron las que motivaron el estudio de sucesiones de variables aleatorias al considerar tamaños de muestra grandes para hacer inferencias. Los resultados más importantes son: La Ley Débil de los Grandes Números, La Ley Fuerte de los Grandes Números y el Teorema Central del Límite.

Modos de Convergencia

Supongamos un fenómeno aletorio ε al que le asociamos elespacio probabilístico (Ω,F,P). Para cada n€IN, sea Xn una variable aleatoria definida en (Ω,F,P).

Convergencia en Distribución

La convergencia en distribución es la convergencia más débil pero es la más utilizada en las aplicaciones. Esto debido a que contamos con una colección de teoremas que nos permiten verificarla y porque nos permite aproximar la función de distribución de Xn con al funciónde distribución límite. Una sucesión de funciones de distribución puede o no converger a una función de distribución.

La convergencia en distribución establece la convergencia punto a punto de la sucesión de las funciones de distribución. Con la restricción de que la convergencia se cumpla en puntos x que sean puntos de continuidad de la función límite.

Sean Fxn() la función de distribución deXn y Fx() la función de distribución de X. Decimos que Xn converge en distribución a X y escribimos Xn -> X cuando:

Lím Fxn (x)= Fx(x)
n->∞
para todo x€ IR que sea punto de continuidad de Fx().

Convergencia en Probabilidad

Decimos que Xn converge en probabilidad a X y se escribe Xn-P->X cuando para cada ε>0 dadoLím P[ |Xn-X|>ε]=0
n->∞

Al escribir | Xn-X|>ε como |Xn(ω)-X(ω)|>ε, nos damos cuenta que la definición establece que Xn converge en probabilidad a X cuando la probabilidad del conjunto de las ω’s donde Xn(ω) dista de X(ω) en más de ε tiende a cero.

La convergencia en probabilidad toma en cuenta la convergencia de una sucesión de númerosreales y no la convergencia de una sucesión de eventos. La convergencia en probabilidad es también llamada convergencia en medida.

Decimos que Xn converge con probabilidad uno a X y se escribe Xn->X con probabilidad 1, si:

P [lím Xn=x]
n->∞

Y podemos reescribirlo como :

P({ω€Ω; Lím Xn(ω)=X(ω)})=1n->∞

Esta establece que el conjunto de resultados elementales ω para los cuales Xn(ω) -> X(ω) tiene probabilidad uno. De aquí se establece que la convergencia es “casi segura”.

La convergencia con probabilidad uno implica la convergencia en probabilidad y que esta última implica la convergencia en distribución. La convergencia con probabilidad uno es lamas restrictiva y en general, no es sencilla de verificar.

Las definiciones dadas pueden generalizarse a vectores aleatorios; así, si X1, X2, … y X son v.a’s de k≥2 componentes, k€ IN, con Fdd’s Fx(), i €IN y Fxi() decimos que:

i) Xn converge en distribución a X si para cada x€IRk que sea punto de cnotinuidad de Fx() tenemos que

Lím Fxn (x) = Fx(x)n->∞
ii) Xn converge en probabilidad a X si la i-ésima componente de Xn converge en probabilidad a la i-ésima componente de X, para i=1,…,k

iii) Xn converge en probabilidad uno a x si la componente i-ésima de Xn converge con probabilidad uno a la componente i-ésima de X, para i=1,…,k

Podemos tener convergencia en distribución sin tener la convergencia de las funciones dedensidad.

Teorema de Pólya:

Sean Xn una v.a. para cada n€ IN, Fxn() la F.d.d. de Xn y F(). Si para cada x€ IR tenemos que, Fxn (x)->F(x) y F() es continua, entonces la convergencia es uniforme. Es decir, bajo las condiciones del teorema, para ε>0 dado, existe una banda de amplitud ε alrededor de F() tal que si n ≥N(ε) entonces, Fxn() queda dentro de la banda.



Teorema de Helly-Bray...