Las convenciones

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PERCOLACIÓN

1

¿Qué es percolación?

Próximos vecinos: cuadrados con lado común (nn) Siguientes próximos vecinos: cuadrados con vértice común(nnn)
2

Cluster: Grupo de cuadrados nn ocupados. Teoría de la Percolación: Propiedades de los clusters. Percolación random: cada sitio de la red se ocupa aleatoriamente con probabilidad p. Ejercicio Escribir un programa que “dibuje” los sitiosocupados y vacíos en un retículo 15x15 para p = 0.3, p = 0.5 y p = 0.7. Identificar los clústers mayores.
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p=0.300000

0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0

1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0

0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0

1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0

0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0

0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1

1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1

1 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0

0 0 1 1 0 10 1 0 1 0 1 1 0 0

0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1

0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0

1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0

0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0

4

p=0.500000

1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1

1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1

0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1

0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0

1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0

0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 00

0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0

0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0

1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0

1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1

0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1

0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0

1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1

1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1

5

p=0.700000

1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0

1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0

0 1 1 1 1 01 1 0 1 0 1 0 1 1

0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1

1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1

1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1

1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0

1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1

0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0

1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

0 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1

1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1

1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0

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Para p = 0.7 sólo hay 4 clusters. Clusterpercolante: ocupa casi todo el retículo Probabilidad crítica pc donde aparece por primera vez cluster percolante Fenómenos críticos: fenómenos cerca de pc. Teoría de scaling escala: trata de describirlos. Si L ≈ 106 sitios, necesitamos un ordenador para analizar los clusters.
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Aplicaciones: 1.-Fuego en los bosques Simular un bosque por una red cuadriculada. Cuadrado ocupado: árbol verde.¿Cuánto tiempo tarda un fuego en penetrar en el bosque o en extinguirse? Simulación: Encender todos los árboles de la primera fila Recorremos la red (bosque) por filas de izda. a derecha Un árbol encendido prende a su vecino nn a la derecha y al de abajo (si existen). Al cabo de un barrido completo el árbol está quemado no puede seguir encendiendo a los vecinos. Fuego termina cuando no quedan árbolesencendidos o el fuego llega a la última fila. La “vida” del fuego es el número de barridos necesarios para que el fuego termine. Resultado: Existe un valor crítico de p (ocupación) cerca de 0.5928 para el que la vida del fuego
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aumenta. De hecho aumenta con el tamaño del bosque

T

0.4

0.5

0.6 p
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2.-¡Buscar petróleo!

Simular un material poroso que contiene gas o petróleo.Cuadrado ocupado: petróleo. La probabilidad de ocupación p se llama porosidad de la roca.

Resultado: Si p < pc el petróleo está distribuido en clusters finitos. Si p < pc al perforar al azar lo más probable será pinchar un cluster pequeño y el pozo será poco rentable. Para ganar dinero hay que perforar si p > pc.
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Solución exacta en d = 1

La probabilidad de que un punto de la red (cadenaahora) sea el extremo izdo. de un cluster de 4 es 4 2 p (1 − p) Si L → ∞ #4-clusters= Lp4(1 − p)2 (sin efectos de borde) Densidad de s-clusters: ns = ps(1 − p)2 ns: Probabilidad de que un punto arbitrario de la cadena sea el extremo izdo. de un cluster de s elementos. En d = 1 si p < 1, algún punto de la cadena está vacío. Por lo tanto en d = 1 pc = 1

P Se cumple que s sns = p, p < pc(∗)...
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