Las leyes de los exponentes

Las leyes de los exponentes
A la hora de evaluar y simplificar exponentes, utilizamos las Leyes de los Exponentes, una serie de reglas que nos sirven para hallar el valor de una expresión másrápidamente.

Ley #1: am×an=am+n
Ilustración #1: 64 ×62
64=6×6×6×6

62=6×6
64 ×62=(6×6×6×6)(6×6)=(6×6×6×6×6×6)=66
Por tanto, 64 ×62=64+2=66

Ilustración #2: a3 ×a5
a3=a×a×a
a5=a×a×a×a×a.a3×a5=(a×a×a)(a×a×a×a×a)=(a×a×a×a×a×a×a×a)=a8
Por tanto, a3 ×a5=a3+5=a8

Ejemplo: Halle el valor de c6 ×c7
Solución: Como los exponentes que vamos a multiplicar tienen bases iguales, podemos resolver usando la Ley #1 delos exponentes:
c6 ×c7=c6+7=c13
Ley #2: (a×b)n=an×bn

#1: (4×5)3
Primero, usamos la definición de exponente para dispersar los dos factores:

(4×5)3=(4×5)×(4×5)×(4×5)

Ahora, agrupamos términossemejantes:

=(4×4×4)×(5×5×5)

Finalmente, por la definición de exponente:

=43×53

Ilustración #2: (c×d)4

Primero, usamos la definición de exponente para dispersar los dos factores:(c×d)4=(c×d)×(c×d)×(c×d)×(c×d)

Ahora, agrupamos términos semejantes:

=(c×c×c×c)×(d×d×d×d)

Finalmente, por la definición de exponente:

=c4×d4=c4d4

Ejemplo: Halla el valor de (2a)5.
Solución: Por la Ley #2:(2a)5=(2×a)5=25×a5=32a5
Ley #3: (ab)n=anbn
Ilustración #1: (75)3

Primero, usamos la definición de exponente para dispersar el cociente:

(75)3=(75)×(75)×(75)

Ahora, agrupamos términos semejantes, tanto delnumerador, como del denominador:

=7×7×75×5×5
Finalmente, aplicamos la definición de exponente:

=7353

Ilustración #2: (pq)5

Primero, usamos la definición de exponente para dispersar el cociente:pq)5=(pq)×(pq)×(pq)×(pq)×(pq)

Ahora, agrupamos términos semejantes, tanto del numerador, como del denominador:

=p×p×p×p×pq×q×q×q×q
Finalmente, aplicamos la definición de exponente:

=p5q5

Ejemplo:Halle el valor de (3xy)4.
Solución: Por la Ley #3:

(3xy)4=(3×xy)4=34×x4y4=81x4y4
Ley #4: (an)m=an×m
Ilustración #1: (32)5

Expandemos 32:

(32)5=(3×3)5

Entonces, expandemos (3×3)5...