Las secciones del cono

Las secciones del cono
El primer libro importante sobre las cónicas lo publicó Apolonio de Perga. Se supone que vivió entre los años 262 y 190 a.C.. El primero en publicar una traducción al latín fue Halley, astrónomo y discípulo de Newton. Pero las secciones cónicas se conocían más o menos 150 años antes de que Apolonio publicara su tratado. Son 4 las curvas que reciben el nombre de cónicas:circunferencia, elipse hipérbola y parábola. Vamos a explicar ahora cómo Apolonio definió estas curvas mediante las secciones que determina un plano en una superficie cónica.
El cono
Una superficie cónica de revolución, o cono de revolución, se obtiene al hacer girar una recta r alrededor de una recta s, fija, llamada eje, de manera que ambas se cortan en un punto V, llamado vértice del cono.Cualquier recta g que pasa por V y contenida en la superficie cónica recibe el nombre de generatriz (fig. 1)

Fig 1

Fig 2
Las cónicas
Sea un plano que no pasa por el vértice y que corta a la superficie cónica. Entonces dependiendo de la posición del plano al cortar a la superficie cónica (Figura - 2) se obtienen las siguientes secciones:
El plano corta a todas las generatrices, de forma quees perpendicular el eje de la superficie cónica. La sección obtenida se llama circunferencia
El plano corta a todas las generatrices, pero al eje no lo corta perpendicularmente. La sección obtenida se llama elipse
El plano es paralelo estrictamente a dos generatrices. La sección obtenida se llama hipérbola
El plano es paralelo a una sola generatriz. La sección obtenida se llama parábola.Circunferencia

Elipse

Hipérbola

Parábola
 
En la intersección de un plano con una superficie cónica, cuando el plano pasa por el vértice se pueden presentar otras tres posibilidades que dan lugar a intersecciones que reciben el nombre de cónicas degeneradas.
Si el plano pasa por el eje y, por tanto, por el vértice, determina dos rectas sobre la cónica, que se cortan en el vértice
Si elplano es tangente a la superficie cónica determina una recta
Si el plano pasa por el vértice y sólo tiene en común con la cónica dicho punto entonces la sección se reduce a un solo punto

Dos rectas

Un punto

Una recta
 
Caracterización de las cónicas
La elipse
La elipse se obtiene al hacer que un plano intersecte a una superficie cónica de forma que corte a todas sus generatrices y nosiendo perpendicular el eje de la superficie cónica. Vamos a estudiar qué propiedad p caracteriza a todos los puntos de la elipse. La Figura 3 se construye según se explica a continuación.

Figura 3
Una vez trazado el plano que corta a todas las generatrices del cono (y que contiene a la elipse), construimos dos esferas inscritas a la superficie cónica y tangentes al plano . Estas esferastambién son tangentes a la superficie encerrada dentro de la elipse en dos puntos que vamos a llamar F1 y F2.
La esfera superior corta a la superficie cónica en una circunferencia que vamos a llamar C1 y a la esfera inferior (la grande) en otra circunferencia que llamamos C2
Sea P un punto cualquiera de la elipse. Trazamos la generatriz que pasa por él: es decir, la recta que une el vértice del conocon el punto P. Esta recta también es tangente a las esferas grande y pequeña, así como a las circunferencias C1 y C2 en dos puntos que llamamos M' y M (respectivamente).
Trazamos los segmentos PF1 y PF2. Ambos son tangentes, respectivamente, a la esfera grande y a la esfera pequeña, ya que ambos segmentos están contenidos en el plano, que a su vez es tangente a ambas esferas.
Vamos a demostrarque PF1 + PF2 es constante independientemente del punto P.
a) Si desde un punto exterior a una esfera trazamos dos tangentes situadas en el mismo plano los segmentos desde el punto a los puntos de tangencia son iguales. Por tanto, PM = PF1 y además PM' = PF2.
b) Sumando término a término estas dos igualdades obtenemos: PF1+PF2 = PM + PM'. Ahora bien: la longitud del segmento MM' no depende del...