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I. INTRODUCCIÓN

En casos donde los usuarios conocen el valor de una función g(x) en una serie de N puntos, pero se desconoce una expresión analítica de g(x) que permita calcular un valor arbitrario de la función, es de gran ayuda recurrir a los modelos de interpolación.

La idea de los modelos de interpolación es poder encontrar un g(x) para un x arbitrario, a partir de la elaboración deuna curva o superficie que una los puntos, en los cuales los valores son conocidos. Se asume que el x arbitrario se encuentra dentro de los límites de los valores conocidos.

El presente artículo tiene como objetivo informar e introducir al lector en el tema de Métodos de interpolación, donde se empieza describiendo y dando una breve definición de interpolación y se exponen varios tipos demétodos entre ellos: Vecino más cercano, media móvil, spline, etc.


II. DEFINICIÒN INTERPOLACIÒN

“Es el procedimiento de estimar las propiedades en sitios no muestreados dentro de un área cubierta por valores conocidos en localidades vecinas. El estimar los valores de propiedades en lugares fuera del área cubierta por observaciones se llama extrapolación. La calidad de la interpolación dependede la confiabilidad, certeza, número y distribución de los puntos conocidos usados en el cálculo y en la precisión del modelamiento de la función utilizada. Los valores desconocidos son calculados con esta función. El escoger el modelo apropiado, es esencial para obtener buenos resultados.” (Valenzuela 1989, Aronoff 1989) 
 
III. INTERPOLACION DEL VECINO MÀS CERCANO

La interpolación delvecino más cercano usa polígonos de Thiessen, los cuales determinan áreas de peso individual por cada punto de un conjunto de puntos. Es una forma de expandir la información suponiendo que la mejor información, para ubicarnos sin observaciones, es el valor del punto más cercano.



Fig. 1. Polígono de Thiessen, donde se determinan las áreas de peso individual.

El objetivo es el siguiente: paracada pixel las distancias ordinarias son calculadas hacia todos los puntos y para cada uno de ellos se tiene asignado un valor del punto con la menor distancia.

IV. INTERPOLACIÓN MEDIA MOVIL

El método de interpolación media móvil busca estimar el valor de una altitud Z según una función f(x) inversa de la distancia. Dicha estimación se hace para cada uno de los puntos de la grilla ocuadricula regular, utilizando un área circular o elíptica de radio conocido.

Fórmula para estimar el valor de Z
(1)
Dónde:

Z*= valor de la altitud estimada.
= puntos con los cuales se realiza la interpolación.
= puntos muéstrales en el área circular o elíptica.
Z= valor de altitud de un punto muestral, perteneciente al área circular o elíptica.
= distancia entre el punto muestral y elpunto interpolado.
= factor de ponderación de la distancia (siempre es negativo).
VI. SUPERFICIES DE TENDENCIA

Para realizar una interpolación por el método de superficies de tendencia, se crea una función polinomial a partir de los puntos muéstrales por medio de una regresión de mínimos cuadrados, la cual se asemejara al modelo de elevación dependiendo de la variación de cotas, puede irdesde lo más simple, un plano, hasta una superficie muy compleja, para la cual se utilizaría un polinomio de grado 5 o 6 que daría un modelo más detallado de la superficie.




Fig. 2. Superficie de tendencia plana.

El plano es la superficie más simple a la que se le puede asignar una función polinomial, en este caso sería de grado 1, si se le agrega una curvatura pasaría a ser de grado 2,si se le agregan 3 curvaturas pasaría a ser de grado 3, y así sucesivamente.

Fig. 3. Superficie de tendencia curvada (Grado 2)

La función polinomial asignada para modelar la superficie no tocará siempre los puntos muéstrales, esto la hace un poco inexacta, pero la cantidad de puntos por encima de la función debería ser aproximadamente igual a la cantidad de puntos por debajo de la...