LECTURA II B

MS3–0003C6002F52

Aspectos matem´
aticos de la DS

La derivada como representaci´
on de un cambio

f (t)

f (t)

α

t

t t + ∆t

La derivada de f (por la derecha) se define como:

df
f (t + ∆t) − f (t)
= f (t) = f˙ = lim
∆t→0
dt
∆t
y es una funci´
on que en cada punto mide la tangente del ´angulo α.
α representa el ´angulo formado por la recta tangente a la curva en
el punto t con el eje T . tanα = f˙(t)
La derivada f (t) representa la tasa de cambio de la funci´
on
f . Si π/2 > α
0, la funci´on aumenta mucho al cambiar poco
el tiempo. Si α ≈ 0 o α ≈ π , la funci´
on cambia muy poco a
medida que avanza el tiempo. De igual manera, si π
α > π/2,
la tangente es negativa y la funci´
on disminuye mucho al aumentar
el tiempo.

t
π/2 > α

t

t
0

α≈0

π

α > π/2
1

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Aspectosmatem´
aticos de la DS

Sistema din´
amico
Vamos a considerar que un sistema din´amico es un objeto
matem´atico definido por un vector de variables end´
ogenas x (poblaci´
on de predadores, concentraci´
on atmosf´erica de CO 2...). Existen posiblemente variables ex´
ogenas y que evolucionan de forma
independiente al sistema estudiado, pero que influyen en su comportamiento (cambios en lairradiancia solar...) Existen adem´as algunos
par´ametros del sistema θ que relacionan las diversas variables de
estado con sus variaciones. Finalmente, existen unas ecuaciones de
evoluci´
on del sistema que pueden ser funciones expl´ıcitas del tiempo
(sistema no aut´
onomo):

dx
= f (x, y, θ, t)
dt

(1)

Nos vamos a centrar en el estudio de sistemas din´amicos en
los que no existen de forma expl´ıcitavariaciones espaciales de las
variables de estado (sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias).
Esta selecci´
on elimina del conjunto de sistemas a estudiar aquellos
en los que las ecuaciones de evoluci´
on estar´an escritas en forma de
ecuaciones diferenciales en derivadas parciales. Adem´as, estudiaremos problemas de valor inicial, es decir, sistemas cuya evoluci´
on
se puede predecir apartir del conocimiento de las coordenadas
iniciales del sistema x0 en el instante de tiempo t0 y del conocimiento de los par´ametros θ y la evoluci´
on de las variables ex´
ogenas
y . Se puede demostrar que, bajo ciertas condiciones matem´aticas
bastante generales que van a cumplir nuestros sistemas, la soluci´
on
del problema (1) sujeto a ciertas condiciones iniciales x 0 existe y es
u
´nica(teorema de unicidad y existencia).
2

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Aspectos matem´
aticos de la DS

Trayectoria y espacio de fases

En el caso de los sistemas din´amicos se generaliza el concepto
f´ısico de trayectoria de una part´ıcula en el espacio. As´ı, se denomina
trayectoria al conjunto de puntos por los que pasan todas las
variables de estado existentes en el sistema din´amico (vector x).
Cadacondici´
on inicial x0 determina el conjunto de puntos del
espacio de estados por las que discurre el sistema din´amico a
medida que avanza el tiempo.

25
20

-5

0

Y

5

10

15

-2

25

20

15

10

Y

5

0

-5

X

-15

0

Z

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

-10

-20

-10

20

25

0
-2
5
-2

20

15

-5
0
-1

10

Y

5

-1

10

5

0

5

0

-2

15

Y

0

5

X

0
-5

10

-5

5

-2

20

-10
0 -15
-25 -2

15

0-1

15

5

-1

5

20

-1

10

0
-1

0 -25
-15 -2

0

25

-2

5

-5

0
-1

0

-5

X

5

0

10

5

15

-1

20

Z

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

A diferencia de lo que sucede en el caso de la cinem´atica de una
part´ıcula que se emplea en F´ısica cl´asica, en este caso, el espacio
por el que se mueve la part´ıcula (sistema din´amico) a estudio est´a
formado por variables de estado (poblaci´
on,recursos, contenido
atmosf´erico de CO2) y no por las coordenadas del vector posici´
on
en un sistema de referencia espacial. Asimismo, las ecuaciones de
evoluci´
on no provienen de las Leyes de Newton. Este espacio en el
que evoluciona un sistema din´amico se denomina espacio de fases y
puede tener un n´
umero elevado de dimensiones. Ejemplo: Atractor
del sistema de Lorenz (x, y y z son variables...