ley de betty y maxwell

Teorema de Maxwell-Betti
El teorema de Maxwell-Betti, o de forma más completa, teorema de reciprocidad de Maxwell-Betti de resistencia de materiales se debe al matemático italiano Enrico Betti, quien en 1872 generalizó un teorema de Maxwell, publicado a su vez en 1864. Este teorema pertenece a una serie de teoremas energéticos, entre los que se encuentran también los teoremas de Castigliano. Laimportancia de los teoremas energéticos radica en su potencia en el análisis de estructuras, que se debe a su sencillez y generalidad. Este teorema es también de importancia en el planteamiento del Método de elementos de frontera.
Índice [ocultar]
1 Coeficientes de influencia
2 Energía de deformación
3 Teorema de Maxwell-Betti
4 Casos particulares
4.1 Teorema de Maxwell
4.2 Simetría de lamatriz de rigidez
5 Véase también
6 Bibliografía
Coeficientes de influencia [editar]

Sea un sólido elástico que se somete a un sistema de fuerzas, asumiendo las siguientes hipótesis:
En cualquier punto del sólido, cada fuerza produce una deformación proporcional a la misma (ley de Hooke: linealidad entre tensiones y deformaciones).
Se verifica el Principio de superposición.
La aplicaciónde cualquier fuerza sobre el sólido no modifica la línea de acción de las restantes cargas aplicadas.
Las fuerzas se aplican de manera progresiva y lineal, no dando lugar a vibraciones ni a intercambio de calor con el exterior.
Sean i y j dos puntos del sólido elástico, denominándose al desplazamiento del punto i al aplicar en j una fuerza . En virtud de la primera de las hipótesisanteriormente citadas, se puede afirmar que:

Si aplicamos un conjunto de n fuerzas sobre el sólido elástico, aplicando el principio de superposición se tendrá que el desplazamiento total del punto i será:

Sea la proyección del desplazamiento del punto i sobre la dirección de la fuerza aplicada en él, , cuando se aplica en j una carga unitaria . Estos desplazamientos proyectados sobre la línea deacción de la fuerza son los que producen trabajo (recuérdese que el trabajo se calcula como el producto escalar de la fuerza por el desplazamiento). Definiendo de este modo , y teniendo en cuenta la proporcionalidad entre fuerzas actuantes y deformaciones enunciada anteriormente, se puede expresar el desplazamiento total del punto i proyectado en la dirección de , de la siguiente manera:

A loscoeficientes se les denomina coeficientes de influencia y representan la componente del desplazamiento que provoca una carga unitaria aplicada sobre j en el punto i, en la dirección de .
La definición de los coeficientes de influencia se debe a Clapeyron.
Energía de deformación [editar]

Supongamos un sólido elástico inicialmente descargado, y que empezamos a cargarlo con una fuerza . Debido a lashipótesis expresadas anteriormente, existe proporcionalidad entre fuerzas y desplazamientos de modo que a un determinado incremento relativo de la fuerza le corresponde el mismo incremento relativo del desplazamiento, o lo que es lo mismo, la pendiente de una gráfica fuerza-desplazamiento es constante. Y por tanto, a la aplicación de una fuerza le corresponderá un desplazamiento .
La energía dedeformación acumulada durante todo el proceso de carga será igual al área que queda por debajo de la recta representada en la gráfica fuerza-desplazamiento, es decir, el área de un triángulo:

Si el sólido elástico no se carga con una única fuerza, sino con un conjunto de ellas, aplicando el principio de superposición se tiene:

Teniendo en cuenta lo dicho en el apartado dedicado a loscoeficientes de influencia:

Teorema de Maxwell-Betti [editar]

Sea un cuerpo elástico lineal sobre el que actúan dos conjuntos de fuerzas y aplicados sobre los puntos del sólido y , respectivamente. Sean:
los desplazamientos de los puntos
los desplazamientos de los puntos cuando solo actúan sobre el sólido elástico las fuerzas .
Análogamente,
son los desplazamientos de los puntos...