Ley De Gauss

En física la ley de Gauss establece que el flujo de ciertos campos a través de una superficie cerrada es proporcional a la magnitud de las fuentes de dicho campo que hay en el interior de dicha superficie. Dichos campos son aquellos cuya intensidad decrece como la distancia a la fuente al cuadrado. La constante de proporcionalidad depende del sistema de unidades empleado.

Se aplica al campoelectrostático y al gravitatorio. Sus fuentes son la carga eléctrica y la masa, respectivamente. También puede aplicarse al campo magnetostático, aunque dicha aplicación no es de tanto interés como las dos anteriores.El flujo (denotado como \Phi ) es una propiedad de cualquier campo vectorial referida a una superficie hipotética que puede ser cerrada o abierta. Para un campo eléctrico, el flujo (\Phi_E ) se mide por el número de líneas de fuerza que atraviesan la superficie.

Para definir al flujo eléctrico con precisión considérese la figura, que muestra una superficie cerrada arbitraria ubicada dentro de un campo eléctrico.

La superficie se encuentra dividida en cuadrados elementales \Delta S , cada uno de los cuales es lo suficientemente pequeño como para que pueda ser consideradocomo un plano. Estos elementos de área pueden ser representados como vectores \vec {\Delta S} , cuya magnitud es la propia área, la dirección es perpendicular a la superficie y hacia afuera.

En cada cuadrado elemental también es posible trazar un vector de campo eléctrico \vec E . Ya que los cuadrados son tan pequeños como se quiera, E puede considerarse constante en todos los puntos de uncuadrado dado.

\vec E y \vec {\Delta S} caracterizan a cada cuadrado y forman un ángulo \theta entre sí y la figura muestra una vista amplificada de dos cuadrados.

El flujo, entonces, se define como sigue:

(1) {\Phi}_E=\sum \vec E \cdot \Delta \vec S

O sea:

(2) {\Phi}_E=\oint_{S} \vec E\cdot d\vec s

Flujo para una superficie cilíndrica en presencia de un campo uniforme
Flujoeléctrico a través de una superficie cilíndrica.

Supóngase una superficie cilíndrica colocada dentro de un campo uniforme \vec E tal como muestra la figura:

El flujo {\Phi}_E puede escribirse como la suma de tres términos, (a) una integral en la tapa izquierda del cilindro, (b) una integral en la superficie cilíndrica y (c) una integral en la tapa derecha:

(3) {\Phi}_E=\oint \vecE\cdot d\vec s={\int}_{(a)} \vec E\cdot d\vec S + {\int}_{(b)} \vec E\cdot d\vec S+{\int}_{(c)} \vec E \cdot d\vec S

Para la tapa izquierda, el ángulo \theta , para todos los puntos, es de \pi, E tiene un valor constante y los vectores dS son todos paralelos.

Entonces:

(4) {\int}_{(a)} \vec E \cdot d\vec S =\int E \cos(\pi) dS= -E\int dS=-ES

siendo S=\pi R^2el área de la tapa.Análogamente, para la tapa derecha:

(5) {\int}_{(c)} \vec E\cdot d\vec S =\int E \cos(0) dS= E\int dS=ES

Finalmente, para la superficie cilíndrica:

(6) {\int}_{(b)} \vec E \cdot d\vec S =\int E \cos\bigg({\pi\over 2}\bigg) dS= 0

Por consiguiente: da cero ya que las mismas líneas de fuerza que entran, después salen del cilindro.

(7) {\Phi}_E =-ES+0+ES\,\!= 0

Flujo para unasuperficie esférica con una carga puntual en su interior
Flujo eléctrico de una carga puntual en el interior de una esfera.

Considérese una superficie esférica de radio r con una carga puntual q en su centro tal como muestra la figura. El campo eléctrico \vec E es paralelo al vector superficie \vec {dS} , y el campo es constante en todos los puntos de la superficie esférica.

En consecuencia:(8) \Phi_{E} = \int_S \vec E \cdot d\vec S = \int_S E \cos\theta dS = \int_S E \cos (0) dS = E \int_S dS=E 4\pi r^2

Deducciones
Deducción de la ley de Gauss a partir de la ley de Coulomb

Este teorema aplicado al campo eléctrico creado por una carga puntual es equivalente a la ley de Coulomb de la interacción electrostática.

E=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0r^{2}}

La ley de Gauss...