ley de seno

En trigonometría, el teorema del seno es una relación de proporcionalidad entre las longitudes de los lados de un triángulo y los senos de los ángulos respectivamente opuestos.
Usualmente sepresenta de la siguiente forma:
Teorema del seno
Si en un triángulo ABC, las medidas de los lados opuestos a los ángulos A, B y C son respectivamente a, b, c, entonces:

Índice [ocultar]
1Demostración
2 Aplicación
3 Relación con el área del triángulo
4 Véase también
Demostración [editar]

A pesar de ser de los teoremas trigonométricos más usados y de tener una demostración particularmentesimple, es poco común que se presente o discuta la misma en cursos de trigonometría, de modo que es poco conocida (aunque muy elegante).


El teorema de los senos establece que a/sin(A) esconstante.
Dado el triángulo ABC, denotamos por O su circuncentro y dibujamos su circunferencia circunscrita. Prolongando el segmento BO hasta cortar la circunferencia, se obtiene un diámetro BP.
Ahora, eltriángulo PBC es recto, puesto que BP es un diámetro, y además los ángulos A y P son iguales, porque ambos son ángulos inscritos que abren el segmento BC (Véase definición de arco capaz). Pordefinición de la función trigonométrica seno, se tiene

donde R es el radio de la circunferencia. Despejando 2R obtenemos:

Repitiendo el procedimiento con un diámetro que pase por A y otro que pase porC, se llega a que las tres fracciones tienen el mismo valor 2R y por tanto son iguales.
La conclusión que se obtiene suele llamarse teorema de los senos generalizado y establece:
Para un triánguloABC donde a, b, c son los lados opuestos a los ángulos A, B, C respectivamente, si R denota el radio de la circunferencia circunscrita, entonces:

Puede enunciarse el teorema de una formaalternativa:
En un triángulo, el cociente entre cada lado y el seno de su ángulo opuesto es constante e igual al diámetro de la circunferencia circunscrita.
Aplicación [editar]

El teorema del seno es...