Ley De Signos De Descartes

LEY DE SIGNOS DE DESCARTES.
En los últimos días se ha nombrado en los comentarios del post Una posible demostración maravillosa del UTF un resultado conocido como regla de los signos de Descartes, relacionado con el número de soluciones positivas de una ecuación polinómica. Este artículo va a servir para presentar esta regla, dar alguna pincelada de su historia y también para demostrarla.

Quées la regla de los signos de Descartes
Supongamos que tenemos el polinomio . Si igualamos a 0 obtenemos la siguiente ecuación polinómica:

Ordenemos los coeficientes según el grado del monomio al que multiplican, colocando en primer lugar al que corresponde al de grado mayor. Obtendríamos la siguiente lista:

Obviando el cero, tenemos que en esta lista se producen tres cambios de signo: del3 al -5, del -5 al 1 y del 1 al -7. Llamando al número de cambios de signo en la lista de coeficientes del polinomio , tendríamos entonces que en este caso .
Por otra parte, si utilizamos un programa informático para calcular las raíces de dicha ecuación (bueno, aproximaciones de las mismas), obtenemos que tiene una solución real positiva y cuatro soluciones complejas (dos parejascompleja-conjugada).
Lo que hace la regla de los signos de Descartes es relacionar el número de cambios de signo en la lista de coeficientes de una ecuación polinómica con el número de raíces positivas de dicha ecuación. Por desgracia no da una cantidad exacta de soluciones, sino que nos da una cota, aunque en muchas ocasiones dicha cota puede propocionar información muy interesante sobre la cantidad de raícespositivas de la ecuación. Vamos a enunciar esta regla:
Regla de los signos de Descartes
El número de raíces reales positivas de una ecuación polinómica con coeficientes reales igualada a cero es, como mucho, igual al número de cambios de signo que se produzcan entre sus coeficientes (obviamos los ceros).
Es decir, que el número de cambios de signos que se produzcan entre los coeficientes es unacota superior del número de raíces positivas de la ecuación. Por ejemplo, en el caso anterior la ecuación tendría como mucho tres soluciones reales positivas, ya que . Pero se puede decir un poco más. No solamente tenemos una cota superior del número de raíces positivas de la ecuación, sino que sabemos que no se pueden tomar todos los valores marcados por dicha cota. De hecho sabemos que si lacota no se alcanza, entonces el número de raíces positivas de la ecuación difiere de ella un múltiplo de dos. En el ejemplo anterior esto significa que la ecuación puede tener tres raíces positivas o tener solamente una, pero no podría ocurrir que tuviera dos o que no tuviera ninguna.
La regla de los signos de Descartes fue propuesta por el filósofo y matemático francés René Descartes en su obra LaGéométrie, de 1637, aunque no la demostró. Más adelante, en 1707, Isaac Newton reformuló dicha regla, aunque tampoco dio una demostración de la misma (se piensa que consideró demasiado trivial dicha demostración). La primera prueba conocida de este resultado se debe al matemático francés Jean-Paul de Gua de Malves, en 1740. Tuvo que ser nuestro admirado Gauss quien, en 1828, mostró que si no haytantas soluciones como cambios de signo, entonces el número de soluciones difiere del número de cambios en un múltiplo de dos.
Demostración de la regla de los signos de Descartes
Vamos a terminar este artículo sobre la regla de los signos de Descartes dando una demostración de la misma. Supongamos que tenemos un polinomio de grado n cuyo coeficiente líder (el coeficiente correspondiente almonomio de mayor grado) es 1 (no perdemos generalidad con esta suposición). Supondremos también que el término independiente del polinomio no es cero (esto es, que ), ya que si lo es podemos sacar factor común un término de la forma que después se puede eliminar.
Vamos a probar esta regla por inducción en n:
* Para n=1, esto es, para polinomios de grado 1, el resultado es inmediato, ya que si la...