Ley identidad

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  • Publicado : 27 de noviembre de 2011
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Ley Identidad
Georg Cantor (San Petersburgo, 3 de marzo de 1845, Halle, 6 de enero de 1918 ) fue un matemático alemán, inventor con Dedekind de la teoría deconjuntos, que es la base de las matemáticas modernas. Gracias a sus atrevidas investigaciones sobre los conjuntos infinitos fue el primero capaz de formalizar la noción deinfinito bajo la forma de los números transfinitos.
Dado un conjunto cualquiera de un universal arbitrario, U, se verifica:
1. A ∪ ∅ = A
2. A ∪ U = U
3. A ∩ ∅ = ∅
4.A ∩ U = A
Demostracion
1. A ∪ ∅ = A. En efecto, sea x es un elemento arbitrario de U . Entonces,
x ∈ (A ∪ ∅) ⇐⇒ x ∈ A ∨ x ∈ ∅ {Definicion de union}
⇐⇒ x ∈ A {x ∈ ∅es falso siempre}
luego,
∀x [x ∈ (A ∪ ∅) ⇐⇒ x ∈ A]
de aquí que
A ∪ ∅ = A
2. A ∪ U = U . Sea x un elemento cualquiera de U . Entonces,
x ∈ (A ∪ U ) ⇐⇒ x ∈ A ∨ x∈ U {Definicion de union}
⇐⇒ x ∈ U {x ∈ U es verdad siempre}
luego,
∀x [x ∈ (A ∪ U ) ⇐⇒ x ∈ U ]
es decir,
A ∪ U = U
3. A ∩ ∅ = ∅. Si x es cualquiera de U , entoncesx ∈ (A ∩ ∅) ⇐⇒ x ∈ A ∧ x ∈ ∅ {Definicion de union}
⇐⇒ x ∈ ∅ {x ∈ ∅ es falso siempre}
luego,
A ∩ ∅ = ∅
4. A ∩ U = A. Sea x un elemento arbitrario de U . Entonces,x ∈ A ∩ U ⇐⇒ x ∈ A ∧ x ∈ U {Definicion de interseccion}
⇐⇒ x ∈ A {x ∈ U es verdad siempre}
luego,
A ∩ U = A

Conclusiones:
Estas propiedades están muyinteresantes & a la vez te aclaran muy bien como es que funcionan cada uno de ellas, en estas se usan términos que ya hemos venido usando tiempo atrás como son el deunión, intersección, etc.
Cabe mencionar que estas son propiedades para poder comprender un poco mejor como es que trabajan & poder diferenciar cada una de ellas.
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