Ley seno

Ley de los Senos

La ley o teorema de los Senos es una relación de tres igualdades que siempre se cumplen entre los lados y ángulos de un triángulo cualquiera, y que es útil para resolver ciertos tipos de problemas de triángulos. Especialmente los triángulos oblicuángulos, es decir, aquellos que carecen de un ángulo recto o de 90°.

La ley de los Senos dice así:

“En todo triángulo, loslados son directamente proporcionales a los senos de los ángulos opuestos”.

Su fórmula es la siguiente:

Donde A, B y C (mayúsculas) son los lados del triángulo, y a, b y c (minúsculas) son los ángulos del triángulo:

Las letras minúsculas de los ángulos se encuentran separadas de su letra mayúscula. Es decir, la a está en el ángulo opuesto de A. La b está en el ángulo opuesto de B. Y la cestá en el ángulo opuesto de C.

Resolución de triángulos por la ley de los Senos

Resolver un triángulo significa encontrar todos los datos que te faltan, a partir de los datos que te dan (que generalmente son tres datos).

*Nota: No todos los problemas de resolución de triángulos se pueden resolver con la ley de los senos. A veces, por los datos que te dan, sólo la ley de los cosenos lopuede resolver.

En general, si en un problema de triángulos te dan como datos 2 ángulos y un lado, se usa la ley de los senos. Si por el contrario te dan dos lados y el ángulo que hacen esos dos lados, usa la ley del coseno.

Por ejemplo: resolver el triángulo siguiente:

Llamemos b al ángulo de 27° porque está opuesto al lado B; a al ángulo de 43° y A al lado de 5. Lo que se tiene entonceses lo siguiente:

A = 5 B = ?

a = 43° C = ?

b = 27° c = ?

El ángulo c es muy fácil de encontrar, porque la suma de los ángulos internos de un triángulo siempre suma 180°. Es decir: c = 180° - a - b. Se sustituye en esta expresión los ángulos:

c = 180° -43°- 27° = 180° - 70° = 110°

c= 110°

Con esto, se cuenta ya con los tres ángulos a, b y c. Para encontrar los lados faltantesusamos la ley de los senos:

A . = B _ = C _

sen(a) sen(b) sen(c)

Sustituyendo queda:

Se fija la atención en los dos primeros términos:

En este momento se ignorará el tercer término. De la igualdad que se encuentra en el recuadro se puede despejar B, (como el sen 27°) y, debido a que está dividiendo abajo, pasa del lado izquierdo multiplicando arriba:

Entonces se calcula lasiguiente expresión:

Solamente queda por calcular C. Para ello, se volverá a usar la ley de los Senos, pero ahora si tomaremos en cuenta la igualdad que contenga a la C:

Se sustituye el valor de la B en la igualdad.

Se despeja la C, por lo tanto, como sen 110° está dividiendo abajo, pasa del lado izquierdo multiplicando arriba:

Se realiza la operación correspondiente y resulta:

Con esteúltima dato queda resuelto todo el triángulo.

Obsérvese que si en lugar de haber usado la igualdad de la derecha se hubiera usado la de los extremos, el resultado habría sido exactamente el mismo:

Escrito ya sin el término de en medio:

Se despeja la C :

Se realizan las operaciones, y el resultado obtenido es igual que el anterior: C = 6.88925

Ejemplos de resolución de triángulosoblicuángulos por la ley de senos.

Datos Fórmulas

A = 80° 25', A + B + C = 180°;

B = 35° 43', a = b = c .

c = 60. sen A sen B sen C

Cálculo de C.

A + B + C = 180°; 80° 25' + 35° 43' + C = 180°; 116° 8' + C = 180°

.

. . C = 180° 116° 8' = 63° 52'

Cálculo de a.

a = c ; a = 60

Sen A sen C sen 80° 25' sen 63° 52'

a = 60

0.98604 0.89777

.

. . a = (60)(0.98604) = 59.16240 = 65.88

0.89777 0.89777

Cálculo de b.

b = c ; b = 60 .

sen B sen C sen 35° 43' sen 63° 52'

b = 60 .

0.58378 0.89777

.

. . b = (60) (0.58378) = 39.01

0.89777

Ejemplo no. 2

a = 41

B = 27 ° 50´

C = 51°

A = 27 ° 50´+ 51°- 180° = A = 101° 10´

Cálculo de c

a . = c _ 41 _ = c _ c = 32.4778

Sen A Sen C Sen 19° 10´ Sen51°

Cálculo...