Leyes de Neweton


DETERMINANTES


ÁLGEBRA LINEAL


SERGIO ANDRÉS FONSECA FRANCO
JOSÉ PIMIENTA CALDERÓN
GUSTAVO SOSA OÑATE



PROGRAMA DE INGENIERÍA MECÁNICA
FACULTAD DE INGENIERÍA
II SEMESTRE



BARRANQUILLA- ATLÁNTICO
2013





Determinantes
Llamamos determinante a una función con valores reales de una variable matricial, y antes de hacer énfasis en la definición matemática dedeterminante es necesario introducir el concepto de permutaciones.
Permutaciones
Definición1.0: Una permutación del conjunto de enteros , es un arreglo de éstos en algún orden sin omisiones ni repeticiones.
Ejemplo 1
Existen seis permutaciones diferentes del conjunto de enteros , que son:
(1, 2,3) (2,1,3) (3,1,2)
(1, 3,2) (2,3,1) (3,2,1)
Se dice que en una permutación ( j1, j2, …, jn ) ocurre unainversión siempre que un entero mayor precede a uno menor. El número total de inversiones que ocurren en una permutación puede obtenerse de la siguiente manera:
1. Encontrar el número de enteros que son menores que j1 y que están después de j1 en la permutación.
2. Encontrar el número de enteros que son menores que j2 y que están después de j2 en la permutación.
Luego se debe continuar con elproceso de conteo para j3,……,jn-1. La suma de estos números es el número total de inversiones que hay en la permutación.
Con base en ésta teoría surge la siguiente definición:
Def 1.1: Se dice que una permutación es par si el número total de inversiones es un entero par, y es impar si el número total de inversiones es un entero impar.
Ejemplo 2: En la siguiente tabla mostramos el número deinversiones de las permutaciones de (1, 2,3) y se clasifican como par o impar.
Permutación

Número de
inversiones
Clasificación



(1,2,3)

(1,3,2)

(2,1,3)
(2,3,1)

(3,1,2)

(3,2,1)
0

1

1
2

2

3
Par

Impar

Impar
Par

Par

Impar













.por último es necesario hablar sobre producto elemental de una matriz cuadrada.
Def 1.2: Porproducto elemental de una matriz A cuadrada se entiende cualquier producto de n elementos de A, de los cuales ningún par de elementos proviene del mismo renglón o de la misma columna.
Ejemplo 3: Sea la matriz B se enumerarán los productos elementales:
B=
Como cada producto elemental tiene tres factores, cada uno de los cuales proviene de un renglón diferente, entonces un producto elemental se puedeescribir en la forma:

Como ninguna pareja de factores en el producto proviene de la misma columna, entonces los números de columna no tienen repeticiones; en consecuencia, deben formar una permutación del conjunto (1, 2,3).éstas 6 permutaciones producen la siguiente lista de productos elementales.


Como muestra éste ejemplo, una matriz A de n×n tiene n! productos elementales. Son losproductos de la forma a1j1a2j2….anjn, donde (j1, j2,…, jn) es una permutación del conjunto (1,2,…, n). Por un producto elemental con signo de A se entenderá un producto elemental a1j1a2j2...anjn multiplicado por +1 o por -1 . Si (j1, j2,…., jn) es una permutación par, se usa el signo +, y si (j1, j2,…., jn) es una permutación impar, se usa el signo -.
Ejemplo 4:
Para la matriz anterior de 33enumeraremos todos los productos elementales con signo de las matrices.
Producto elemental
Permutación asociada
Par o impar
Producto elemental
Consigo
.a11a22a33
(1,2,3)
Par
+.a11a22a33
.a11a23a32
(1,3,2)
Impar
-a11a23a32
.a12a21a33
(2,1,3)
Impar
-a12a21a33
.a12a23a31
(2,3,1)
Par
+.a12a23a31
.a13a21a32
(3,1,2)
Par
+a13a21a32
.a13a22a31
(3,2,1)
Impar
-a13a22a31

Con todo loanterior ya es posible definir la función determinante.
Def.1.3: Sea A una matriz cuadrada .La función determinante se denota por det, y det(A) se define como la suma de los productos elementales con signo de A. El número det(A) se denomina determinante de A.
Ejemplo
Trabajando con una matriz 3×3 y haciendo referencia a la matriz B del ejemplo 3 se obtiene:

Det
=

Para hacer más fácil...