Leyes De Similitud

ANÁLISIS DIMENSIONAL Y SEMEJANZA

José Agüera Soriano 2011

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ANÁLISIS DIMENSIONAL Y SEMEJANZA
•EXPERIMENTACIÓN EN MECÁNICADE FLUIDOS •ADIMENSIONALES EN MECÁNICA DE FLUIDOS •SEMEJANZA DE MODELOS Ensayos con modelos Leyes de semejanza Semejanza de Froude Semejanza de Reynolds Semejanza de Mach

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EXPERIMENTACIÓN EN MECÁNICADE FLUIDOS

Las ecuacionesfundamentales de un flujo no son generalmente suficientes para una solución completa del problema. En Mecánica de fluidos que pueden intervenir hasta 9 magnitudes físicas. Parece imposible la experimentación. Afortunadamente, en un problema concreto, no influirán más de 6; pero todavía es excesivo.

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Mediante el análisis dimensional podemos formar agrupacionesadimensionales y trabajar con ellas en lugar de con las magnitudes físicas reales. Con ello se reduce el número de variables a (n−m): n = número de magnitudes físicas que intervienen m = número de magnitudes básicas que intervienen

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Cuantas menos agrupaciones resulten, menos experiencias hay que hacer: una agrupación requeriría una experiencia; dos agrupacionesvarias experiencias (10 por ejemplo) para construir una curva, y tres nos llevaría a varias (10 curvas y/o 100 experiencias, por ejemplo). Una ventaja adicional que nos proporciona la teoría dimensional es la de predecir los resultados de un proyecto, en base a los obtenidos ensayando con un modelo a escala.
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ADIMENSIONALES EN MECÁNICA DE FLUIDOS

Para establecer losposibles adimensionales, supongamos que intervienen a la vez todas las posibles fuerzas sobre el flujo: de presión, de gravedad, de fricción, de elasticidad y de tensión superficial. Expresemos la resultante (ΣF ), o fuerza de inercia ( Fi ), que provoca la aceleración del flujo, en función de la velocidad u:
ΣF = Fi = m ⋅ a = ( ρ ⋅ l 3 ) ⋅ (l ⋅ t − 2 ) = = ρ ⋅ l ⋅ (l ⋅ t ) = ρ ⋅ l ⋅ u
2 −1 2 2José Agüera Soriano 2011

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Fuerza de presión (p): Fuerza de gravedad (g): Fuerza viscosa (µ ): Fuerza elástica (K): Fuerza tensión superficial (σ )

Fp = l 2 · p Fg = l 3 · ρ ·g Fr = l 2 · τ = l · u · µ FK = l 2 · K Fσ = l · σ
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Sumando las cinco fuerzas e igualándolas a la de inercia:

l 2 ⋅ p + l 3 ⋅ ρ ⋅ g + l ⋅ u ⋅ µ + l 2 ⋅ K + l ⋅σ = ρ ⋅ l 2 ⋅ u 2expresión que relaciona 8 magnitudes físicas:
f (l, p, ρ, g, u, µ, K, σ) = 0

Si hubiera dos longitudes características, lo que ocurre con frecuencia, resultarían 9 magnitudes físicas en lugar de 8. Dividamos la primera ecuación por la fuerza de inercia:

µ σ  l⋅g K  p ϕ , 2 , , , =0 2 2 2  ρ ⋅l ⋅u ρ ⋅u ρ ⋅l ⋅u  u  ρ ⋅u
en la que intervienen 5 variables (adimensionales), en lugar delas 8 (dimensionales).
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ϕ

p l⋅g K µ σ  , 2 , , , =0 2 2 2 u ρ ⋅l ⋅u ρ ⋅u ρ ⋅l ⋅u   ρ ⋅u 
p ρ u2 2

Coeficiente de presión = Número de Froude Número de Reynolds Número de Mach Número de Weber

Fr =

u l⋅g ρ ⋅l ⋅u l ⋅u Re = = µ ν u u = Ma = K ρ a

We =

u

σ ρ ⋅l

p ρ ϕ 2 , u 2 

u l ⋅u , , l⋅g ν

u , K ρ

 =0 σ ρ ⋅l   u
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p ρ ϕ 2 , u 2 

u l ⋅u , , l⋅g ν

u , K ρ

 =0 σ ρ ⋅l   u

p ρ = f (Fr, Re, Ma, We) u2 2
Si hubiera dos longitudes características en el problema, l y l', el cociente l/l', ó l'/l, sería otra variable adimensional:

p ρ = f (Fr, Re, Ma, We, l/l’) 2 u 2
En cada caso se eliminarán aquellos adimensionales cuya intervención sea nula o poco importante.
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Wiliam Froude
Inglaterra (1810-1879)
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Osborne Reynolds
Belfast (1842-1912)
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Ernst Mach
Austria (1839-1916)
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Moritz Weber
Alemania (1871-1951)
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Ensayos con modelos
Los modelos se hacen de materiales diversos madera, escayola, metales,...