Leyes

Leyes de Identidad
Dado un conjunto cualquiera de un universal arbitrario, U , se berifica:
1. A ∪ ∅ = A
2. A ∪ U = U
3. A ∩ ∅ = ∅
4. A ∩ U = A
Demostración
1. A ∪ ∅ = A. En efecto, sea x esun elemento arbitrario de U . Entonces,
x ∈ (A ∪ ∅) ⇐⇒ x ∈ A ∨ x ∈ ∅ ⇐⇒ x ∈ A {x ∈ ∅ es falso siempre} luego, ∀x [x ∈ (A ∪ ∅) ⇐⇒ x ∈ A] de aquí que A ∪ ∅ = A
2. A ∪ U = U . Sea x un elementocualquiera de U . Entonces, x ∈ (A ∪ U ) ⇐⇒ x ∈ A ∨ x ∈ U ⇐⇒ x ∈ U {x ∈ U es verdad siempre} luego, ∀x [x ∈ (A ∪ U ) ⇐⇒ x ∈ U ] es decir, A ∪ U = U
3. A ∩ ∅ = ∅. Si x es cualquiera de U , entonces x∈ (A ∩ ∅) ⇐⇒ x ∈ A ∧ x ∈ ∅ ⇐⇒ x ∈ ∅ {x ∈ ∅ es falso siempre} luego, A ∩ ∅ = ∅
4. A ∩ U = A. Sea x un elemento arbitrario de U . Entonces, x ∈ A ∩ U ⇐⇒ x ∈ A ∧ x ∈ U ⇐⇒ x ∈ A {x ∈ U es verdadsiempre} luego, A ∩ U = A
Leyes de De Morgan
Dados dos conjuntos A y B en un universal U , se verifica:
1. (A ∪ B)ˆc = Aˆc ∩ Bˆc
2. (A ∩ B)ˆc = Ac ∪ Bˆc
Demostración
1. (A ∪ B)ˆc = Ac ∩ Bˆc
Enefecto, sea x un elemento arbitrario del conjunto universal U . Entonces, x ∈ (A ∪ B)ˆc ⇐⇒ x /∈ (A ∪ B) {Definición de complementario} ⇐⇒ ¬[x ∈ (A ∪ B)] {Negación} ⇐⇒ ¬[(x ∈ A) ∨ (x ∈ B)]{Definición de unión} ⇐⇒ ¬(x ∈ A) ∧ ¬(x ∈ B) {De Morgan para ∨} ⇐⇒ (x /∈ A) ∧ (x /∈ B) {Negación} ⇐⇒ (x ∈ Aˆc) ∧ (x ∈ Bˆc ) {Definición de complementario} ⇐⇒ x ∈ (Aˆc ∩ Bˆc ) {Definición de intersección} yal ser x un elemento arbitrario de U , se sigue que ∀x [x ∈ (A ∪ B) ˆc ⇐⇒ x ∈ (A ˆc ∩ Bˆc)] luego, (A ∪ B)ˆc = Aˆc ∩ Bˆc
2. Análogamente se prueba que (A ∩ B)ˆc = Aˆc ∪ Bˆc


Leyes IdempotentesDado cualquier conjunto A en un universal arbitrario U , se verifica:
1. A ∪ A = A
2. A ∩ A = A
Demostración
En efecto, sea x un elemento arbitrario del universal U . Entonces,
1. x ∈ (A ∪ A)⇐⇒ x ∈ A ∨ x ∈ A {Definición de unión} ⇐⇒ x ∈ A {Idempotencia de ∨} De la arbitrariedad de x se sigue que ∀x [x ∈ (A ∪ A) ⇐⇒ x ∈ A] de aqui que A ∪ A = A
2. Análogamente se prueba que A ∩ A =...