Leyes

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Leyes de Interconexión.
Las ecuaciones de Kirchhoff establecen relaciones entre las corrientes y voltajes de
componentes eléctricas debido a la forma en que éstas están interconectadas. Si se abstrae el
tipo o naturaleza eléctrica de la componente y sólo interesa estudiar las interconexiones, la red
eléctrica puede describirse por un grafo orientado.

Grafos.
En un grafo orientado lascomponentes se representan por líneas que se conectan en sus puntos
terminales denominados vértices.
En la Figura 1, se muestra a la izquierda una componente de redes y a la derecha el elemento
orientado e, junto a sus vértices terminales, denominados a y b. La orientación del elemento se
escoge igual a la dirección de referencia para la corriente, y también simboliza el voltaje entre
losterminales a y b, es decir vab.

i
v

a
e

b
Figura 1. Elemento y sus vértices.
Se define un trayecto entre dos vértices, como una secuencia de elementos tales que el vértice
final de uno es el inicial del siguiente. Si el vértice inicial y final son iguales, y no se recorre
más de una vez un elemento, se denomina circuito al conjunto de elementos del trayecto. Si
denominamos grado deincidencia del vértice al número de elementos que están conectados a
ese vértice, puede decirse que en un circuito, todos sus vértices tienen grado de incidencia dos,
contados respecto del subgrafo formado por los elementos del circuito.
En el grafo de la Figura 2, los conjuntos: {1, 3, 5} y {1, 5, 6, 7} son circuitos.
El conjunto {1, 2, 4, 5} no es un circuito, ya que uno de sus vértices tienegrado de incidencia
tres.

Profesor Leopoldo Silva Bijit

30-12-2009

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Teoría de Redes Eléctricas

6
1

a

b

2

c

5

3

4

7

d
Figura 2. Grafo con 7 elementos y 4 vértices.
La ley de corrientes de Kirchhoff establece que la suma de las corrientes que salen de un vértice
es cero en todo instante.
La ley de voltajes de Kirchhoff establece que la sumaorientada de los voltajes en un circuito es
cero en todo instante.
Si la dirección de referencia para una corriente sale de un vértice, se considera con signo
positivo; y si entra al vértice, se considera con signo negativo. Si al recorrer un circuito s e
encuentra primero la punta de la flecha de la polaridad, se considera ese voltaje con signo
positivo; si se encuentra la cola de la polaridadprimero, se considera ese voltaje con signo
negativo.
Por ejemplo en el vértice a, se tiene aplicando LCK: i1 i3 i6 0
En el circuito {1, 2, 6}, se tiene por LVK:

v1 v2 v6

0.

Matriz de incidencia de los elementos en los vértices.
El grafo puede representarse por una matriz A, donde cada columna está asociada a un
elemento, y cada renglón a un vértice. Si la flecha de orientación delelemento j sale del vértice
i, se coloca +1 en el elemento aij de la matriz; si la flecha de orientación entra al vértice s e
coloca -1; y si el elemento no es incidente con ese vértice se coloca valor cero.
La siguiente matriz, representa el grafo de la Figura 2. Las columnas de izquierda a derecha
representan a los elementos: 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7 respectivamente. Los renglones de arriba haciaabajo representan a los vértices a, b, c y d respectivamente.

A

1
1
0
0

0
1
1
0

1
0
0
1

0
0
1
1

0
1
0
1

1
0
1
0

0
0
1
1

Figura 3. Matriz de incidencia de los elementos en los vértices.

Profesor Leopoldo Silva Bijit

30-12-2009

Leyes de Kirchhoff

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Nótese que el grafo y la matriz representan igual informació n. Puede dibujarse el grafo apartir
de la matriz y escribirse la matriz a partir del grafo.

Ecuaciones LCK en los vértices.
Si se aplica la ley de corrientes de Kirchhoff en cada uno de los vértices, se obtienen:

i1 i3 i6

0

i1 i2 i5

0

i2 i4 i6 i7

0

i3 i4 i5 i7

0

Mediante la matriz de incidencia de los elementos en los vértices, pueden representarse las
ecuaciones LCK en los vértices según:...