Lgebra Lineal

Cap´
ıtulo 4

Espacios Vectoriales
4.1.

Introducci´n
o

Vamos a estudiar la estructura de Espacio Vectorial, la cual es en esencia,
una generalizaci´n del espacio Rn , es por esta raz´n que este ser´ nuestro
o
o
a
principal modelo de espacio vectorial, en realidad los espacio vectoriales que
nos interesan son los de dimensi´n finita, los cuales son, en esencia, id´nticos
o
e
aRn .

4.2.

Definici´n y ejemplos.
o

Un campo F es un conjunto en el cual se definen dos operaciones, suma y
producto las cuales cumplen todos los axiomas de los n´meros reales. En
u
nuestro caso F siempre ser´ R ´ C.
ao

Definici´n 44. Un Espacio Vectorial es un conjunto V y un campo F en
o
el cual est´n definidas dos operaciones +, ·
a
(Suma y producto). Los
elementos de V sedenominan vectores y los elementos de F escalares, la
primera operaci´n se denomina Suma de Vectores y la segunda producto por
o
un escalar, estas cumplen las siguientes propiedades: Sean u, v, w ∈ V y
α, β ∈ F entonces

91

CAP´
ITULO 4. ESPACIOS VECTORIALES

92
S1. Clausura

P1. Clausura
u+v ∈V

S2. Asociatividad
u + (v + w) = (u + v ) + w

α·u∈V
P2. Asociatividad
(α · β ) · v= α · (β · v ) = α · (β · v )

S3. Conmutatividad
u+v =v+u
S4. Neutro aditivo
∃e ∈ V : v + e = v

P3. Neutro multiplicativo
1·v =v

S5. Inverso aditivo
∃ v′ ∈ V : v + v′ = 0
D. Distributividad
α · (u + v ) = α · u + α · u
(α + β ) · u = α · u + β · u

Es importante notar que un e.v. es un conjunto V y campo F, junto a dos
operaciones, es decir al conjunto V se le puede asociarotro campo F1 y otras
operaciones, no existe una sola forma de hacer a V un espacio vectorial.
Si V es un espacio vectorial sobre el campo F con las operaciones +, · escribiremos (VF , +, ·) si las operaciones se asumen conocidas escribiremos VF .
Las operaciones de espacio vectorial tienen una interpretaci´n geom´trica:
o
e
Teorema 45. Dado un espacio vectorial VF :
1. El neutro aditivo esunico.
´
2. El inverso aditivo es unico.
´

´
4.2. DEFINICION Y EJEMPLOS.

93

Ejemplo 54. Dado n ∈ N el conjunto
Rn = {(a1 , a2 , ..., an ) : a1 , a2 , ..., an ∈ R}
se denomina Espacio vectorial Euclidiano n dimensional. Este es efectivamente un espacio vectorial sobre el campo R, con las operaciones:
u + v =(u1 , u2 , ..., un ) + (v1 , v2 , ..., vn ) = (u1 + v1 , u2 + v2 , ..., un +vn )
α · v =α(v1 , v2 , ..., vn ) = (αv1 , αv2 , ..., αvn )
El elemento Neutro aditivo es el vector nulo 0 = (0, 0, ..., 0). Dado v =
(v1 , v2 , ..., vn ) ∈ Rn el inverso aditivo de v es el vector−v = (−v1 , −v2 , ..., −vn ).
Notemos que si n = 1 entonces Rn = R, es decir R es un espacio vectorial
sobre si mismo. En los casos de n = 2, 3, se denomina plano euclidiano y
espacio euclidianotridimensional, respectivamente.
Ejemplo 55. El conjunto (Mn×m (F), +, ·) donde el producto es el producto
por un escalar, es tambi´n un e.v. el elemento neutro aditivo es la matriz
e
nula y dada A ∈ Mn×m (F) el inverso aditivo es la matriz −A dada por
[−A]ij = −[A]ij .
Ejemplo 56. Sea X un conjunto no vac´o y sea F un campo, definimos el
ı
conjunto:
F (X ; F) = {f : es un funci´n de X en F }o
Definimos las operaciones de suma y producto por un escalar:
1. Si f, g ∈ F (X ; F) la suma defunciones f + g definida por:
(f + g)(x) = f (x) + g(x),

∀x ∈ F

entonces f + g ∈ F (X ; F).
2. Si α y f ∈ F (X ; F) entonces definimos el producto α · f por:
(α · f )(x) = α · f (x),
entonces α · f ∈ F (X ; F).

∀x ∈ F

CAP´
ITULO 4. ESPACIOS VECTORIALES

94

As´ F (X ; F) con estasoperaciones es un e.v. sobre el campo F. el elemento
ı
Neutro aditivo en F (X ; F) es la funci´n constante igual a 0 y dado f ∈
o
F (X ; F) el neutro aditivo es −f .
Si F = R escribiremos:
F (X ; F) = F (X )
Existen muchos otros ejemplos de espacios vectoriales, veremos m´s ejemplos
a
m´s adelante.
a

4.3.

Propiedades de los espacio vectoriales

Para poder trabajar con los e.v....