LIBRO DE MATEMATICAS IV

Función exponencial










La gráfica de la función exponencial natural tiene la siguiente forma:










Sabías que…
La función se usa porque representa fenómenos naturales como el decaimiento (e con exponente negativo) radiactivo de un átomo y otros de tipo económico y social. En cálculo, suderivada permite estimar la velocidad con que los átomos de una muestra radiactiva se desintegran o decaen, así como su tiempo de vida medio.

CRECIMIENTO EXPONENCIAL

Observa que la función x es creciente para todos los valores de 𝑥, ya que, como hemos aprendido, su exponente es negativo. En situaciones como el desarrollo de bacterias en un cultivo, el crecimiento poblacional o el impuesto,entre otros casos reales, se utiliza esta función porque todos ellos se refieren a un crecimiento exponencial. Matemáticamente s expresa con la función:

kt
donde B se llama factor de crecimiento y K tasa de crecimiento, y ambos valores (de B y f) son positivos. Su gráfica queda como aparece a continuación:Gráfica de la función exponencial natural usada para representar fenómenos que cresen exponencialmente.
EJEMPLOS
1 Una empresa de laboratorios médicos determina que para ciertos cultivos el número de bacterias está dado por laexpresión N (t)=0.03t, donde t se expresa en minutos. Contesta:
a. ¿Cuál será el valor de B considerando que inicialmente existen 1 800 bacterias?
Si consideramos t =0 el principio, entonces tenemos que:

N (0)= 0.03(0)

Calculemos entonces el factor en que aumenta el número de bacteria. Como existen 1800 bacterias tenemos que 1800=0.
Por definición, 0 =1; entonces

1800 = (1)
1800 =

Por tanto la expresión que representa el crecimiento bacteriana en 0.03t











b. ¿Cuántas bacterias habrá en 45 minutos?
Ahora, por lo que sustituyendo queda:bacterias

Entonces, a los 45 minutos del conteo inicial habrá 6943.3 bacterias

DECAIMIENTO EXPONENCIAL
Ahora estudiaremos la función -x.
Al terminar el exponente negativo, la fun-
ción indica un crecimiento, lo que
equivale a decir que la coordenada
disminuye cuando la variable 𝑥 aumen-
ta. Entonces podemos definir el de-
caimiento exponencial mediante laecuación:
- kt
Las ecuaciones de este tipo se utilizan
principalmente para establecer la de-
preciación de tipos con el transcurso
del tiempo; la disimulación de una po-
blación; la desintegración radiactiva de
elementos como el estroncio 90, el ra-
dio, el usuario 238 y el carbono 14,
el cual es muy conocido porque me-
diante el cálculo de sutiempo de vida medio es posible determinar la
edad de fósiles u objetos antiguos.






Con graficas similares a ésta se representan. Fenómenos que decrecen exponencialmente, Como la depreciación del equipo a lo largo del tiempo

EJEMPLO
En la universidad acaba de comprarse equipo de cómputo especializado para los laboratorios de biología y física de la Facultad deCiencias. Antes de la compra se planeó que el equipo tendría una vida útil de cuatro años; sin embargo, se reconoce que cualquier equipo sufre un depreciación a partir de su compra.
Si el equipo costó $36 000, ¿Cuál será su valor después de cuatro años? La depreciación tiene una relación de C-0.25t y considera-remos que tiene un valor constante.
Sabemos que cuando se compra el...