Matemática iv

Ecuaciones de Tipo Hiperbólicas.
Ejemplo aplicado en la ingenieria de gas
Durante la inspección, detección y mantenimiento de tuberías que transportan gas natural, se realizan ensayos de ultrasonido para detectar cualquier irregularidad o posible falla a corto y largo plazo. Estas ondas de sonido que emiten para detectar fugas en las tuberias viene dada por la siguiente ecuación diferencialut=a2uxx +f(x)
Donde:
u(x,0)=Ф(x)
u(0,t)=0
u(l,t)=0
Hallar la solución de esta ecuación diferencial al momento de aplicar este ensayo (t = 0)
SOLUCION
Para resolver, supongamos que u(x,t)=w(x,t)+v(x) de modo que:
wt=a2wxx
Donde:
w(x,0)= Ф(x)-f(x)
w(0,t)=0
w(l,t)=0
Por otra parte, requerimos que:
0=a2 f”(x)+f(x)

Resolviendo la ecuación diferencial en w, suponiendo que w=X(x)T(t):T’/Ta2=X’’/X

De donde tomamos los cocientes iguales a una constante, debido a que el miembro izquierdo depende solo de t y el derecho de x.
X”=λX

Donde nos surgen tres casos, en el que λ=m2, λ =-m2 ó λ =0.
Caso 1 (λ =m2):
Aquí se obtendría que X(x)=Aemx+Be-mx, de donde las condiciones iniciales implican que: A+B=0 y mA-mB=0 ↔ A=B=0, por lo que w=0, un caso trivial.
Caso 2 (λ =0):
En estecaso se obtendría directamente X(x)=0=w(x,t), otro caso trivial y sin interés.
Caso 3 (λ =-m2):
Inmediatamente se obtiene: X(x)=Aemxi+Be-mxi=(A+B)cosmx+(A-B)senmx, con esto, las condiciones a la frontera significan que A+B=0 y (A-B)senml=0 ↔ m=nπ/l.

Ahora resolviendo para T, conociendo la forma de m, entonces se obtiene que:

Entonces la solución se puede escribir como:

Para resolver paraun caso numérico, supongamos f(x)=senhx y Ф(x)=0
Entonces el problema se transformaría en:

De modo que ahora es únicamente cuestión de calcular la expansión en series de Fourier del término de la derecha.

Finalmente:

Ecuaciones de Tipo Parabólicas
Ejemplo aplicado en la ingenieria de gas
Consideremos la pared de un separador como una barra metálica cuya superficie está aislada. Lapared del separador tiene una longitud L y una difusividad k y está perfectamente aislada lateralmente, de modo que el calor fluye únicamente en la dirección x. Si sus extremos se mantienen a una temperatura T = 0, y su temperatura inicial está dada por,
u(x,0) = 10sin(2πx) - 6sin(4πx) , tal como se ilustra en la Figura.

Condiciones en la frontera para la pared metálica de longitud l.

SOLUCIONSi consideramos que la longitud y la difusividad de la pared sean de 3,0 y 4,0 unidades respectivamente, vemos que la ecuación a resolver es la ecuación de conducción del calor.

Con condiciones en la frontera y cota dadas

Apliquemos el método de la transformada de Laplace a la Ecuación inicial con respecto a t, vemos que

Puede ser escrita como

Es decir

donde;

Al aplicar lacondición inicial, obtenemos que

Tomando la transformada de Laplace de las condiciones u(0,t) = u(3,0,t) = 0 , tenemos que

Utilizando los métodos usuales para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias, vemos que la solución de la ecuación diferencial es:

Así, al tomar la inversa de la transformada de Laplace, obtenemos que

Al utilizar cualquier método de solución de EDP totalmentediferentes, debemos llegar a los mismos resultados. La última ecuación, nos muestra la evolución temporal de la temperatura conforme aumenta el tiempo, llevando al sistema al cabo de un tiempo (no muy prolongado) al equilibrio térmico, esto es, a temperatura cero, esta situación es presentada gráficamente en la siguiente figura. Este comportamiento era el de esperarse, dada la dependencia de lasolución con el tiempo.

Comportamiento gráfico, referente a la solución del problema con 0,010s ≤ t ≤ 0,050s y 0 ≤ x ≤ 3,0.

Ecuación de Continuidad
Ejemplo:
Cuando se abre poco a poco un grifo, se forma un pequeño chorro de agua, un hilo cuyo radio va disminuyendo con la distancia al grifo y que al final, se rompe formando gotas.
La ecuación de continuidad nos...