Libro de matemáticas

MATEMçTICAS I
COU
OPCIONES A y B

Juan Luis Corcobado Cartes
Javier Mariju‡n L—pez
Profesores de Matem‡ticas
C.E.I. de C‡ceres

Versi—n electr—nica del libro
del mismo t’tulo.
I.S.B.N. 84-404-6841-5
@ Juan Luis Corcobado Cartes
@ Javier Mariju‡n L—pez

Los autores autorizan la reproducci—n total o parcial de esta edici—n
electr—nica con el ruego de que en tal caso se hagaconstar su autor’a.

Las diferencias de paginaci—n entre la versi—n impresa y la electr—nica de este libro
obedecen a la supresi—n de algunas p‡ginas en blanco de la versi—n sobre papel.

PRîLOGO
Querido lector/a:
Al igual que hicimos al prologar la edici—n anterior de este libro, nos resulta grato
expresar en primer lugar nuestro reconocimiento al I.C.E. de la Universidad de
Extremaduraporque haya considerado interesante para sus objetivos de coordinaci—n del
Curso de Orientaci—n Universitaria la publicaci—n de las presentes p‡ginas. Atribuye sus
posibles deficiencias a los propios autores y no a la generosidad para con ellos del citado
instituto.
La œnica finalidad que nos ha motivado a preparar esta nueva edici—n, como
sucedi— en su d’a cuando redactamos la primera, ha sido lade facilitar tu tarea como
estudiante y la nuestra como profesores. Hemos querido escribir exclusivamente lo que
procuramos hacer en clase, y en este sentido debes entender el librito que tienes en las
manos. Deseamos que puedas prestar m‡s atenci—n en el aula a lo que realmente tiene
dificultad en matem‡ticas: demostraciones, modos de razonar, aspectos filos—ficos inmersos
en algunosconceptos, problemas... y ocupes en ello el esfuerzo y el tiempo que requiere esa
toma de apuntes que nunca es tarea acabada y siempre es dudosa en cuanto a la seguridad
en lo que se ha tomado. Creemos que hemos escrito todo lo que un alumno debe saber
despuŽs de un buen aprovechamiento del curso, y apenas s—lo eso. Tentados en algunas
ocasiones por profundizar m‡s en determinados conceptos, hemosterminado por recordar
que a veces los libros son m‡s f‡ciles de escribir que de leer y que el curso s—lo tiene ocho
meses mal contados.
La redacci—n y selecci—n de los contenidos, consideradas las caracter’sticas del par
no ordenado escribidor, no han estado exentas de mutuas concesiones; el acuerdo ha
llegado como fruto de nuestro fin œltimo, proporcionarte este material de trabajo, y,aunque estŽ mal decirlo, de un comœn entusiamo por las matem‡ticas y, sobre todo, su
ense–anza, que, aunque personal y diferente en cada uno de nosotros, hemos querido
transmitir en las p‡ginas que siguen. Porque estamos convencidos de que en la medida en
que sepamos comunicarte nuestra ilusi—n por lo que hacemos y nuestra creencia no
dogm‡tica en lo que ense–amos, en la misma medida, insistimos,lograremos que
encuentres satisfacci—n e ilusi—n por lo que estudias.
Y como en ocasi—n precedente, suscribiremos las palabras de otro insigne matem‡tico, Rolf Nevanlinna:
"No es muy dif’cil hacer y escribir programas para la ense–anza de las
matem‡ticas, lo es mucho m‡s llevarlos a la pr‡ctica. Puede ense–arse bien de
muchas maneras, hacerse mal de much’simas, pero lo peor es hacerlo de unmodo
aburrido."
ÀSer‡ pretencioso decir que confiamos en hacerlo bien y no aburrirte m‡s de lo
indispensable?
Los autores.

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TEMA 1

ESPACIOS VECTORIALES

Espacios vectoriales

1. INTRODUCCIîN
Empezar las matem‡ticas de COU diciendo que el objetivo de su primera parte son
los sistemas de ecuaciones lineales puede ser sorprendente para quien, como tœ, hace ya
algœn tiempo quelos sabe resolver. Si es as’, no importa, o incluso mejor: ser‡ se–al de que
no partiremos de cero. Lo que ocurre, como puedes suponer, es que en este curso
aprenderemos cosas nuevas y, con los sistemas de ecuaciones, siguiendo un mŽtodo habitual
en matem‡ticas, procederemos intentando encontrar lo que de comœn puedan tener todos
ellos para, analizada convenientemente esa estructura comœn,...