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“AÑO DE LA CONSOLIDACION ECONOMICA Y SOCIAL DEL PERU”
FACULTAD DE INGENIERIAS
ING. CIVIL

TRABAJO DE INVESTIGACION

NOMBRE:

CODIGO:

DOCENTE:

CURSO:

CICLO:

GRUPO:

MOQUEGUA-PERU
2010
DEMOSTRACION DE QUE NO ES UN NÚMERO RACIONAL
Hay que tener en cuenta que a los números reales no racionales se les llama irracionales, y es el caso de
DEMOSTRACION
El método quevamos a utilizar para la demostración es el de la reducción al absurdo. Este método consiste en suponer que se cumple una hipótesis, hacer operaciones verdaderas con ella y si se llega a un absurdo es que lo que habíamos supuesto era falso.
En este caso la hipótesis es que vamos a suponer que es racional, o sea que existe una fracción de números enteros a/b que es igual a . Dicha fracción lasuponemos ya lo más simplificada posible, pues si no lo estaba se simplifica y ya está.
= a / b
Elevamos al cuadrado los dos miembros de la igualdad a2/ b2 = 2
Multiplicamos por b2 los dos miembros de la igualdad  a2=2.b2
Esta expresión nos dice que a2 es par, ya que resulta de multiplicar 2 por otro número. Y por tanto a es par.
Pero a2 es un cuadrado perfecto, o sea es un número enteroal cuadrado, luego si uno de sus factores es el 2, el 2 tiene que estar como mínimo al cuadrado, o sea dos veces.
Por tanto como ya hay un 2 en la igualdad delante de b2, el otro 2 tiene que estar en el b2
Eso quiere decir que b2 también tiene que ser par, y por tanto b también es par.
Pero si a es par y b también, la fracción  a/b no es irreducible, como habíamos supuesto.
Ya hemos llegadoal absurdo
Teníamos una fracción irreducible  a / b cuyo numerador y denominador son pares.
Por tanto lo que habíamos supuesto era falso: NO EXISTE NINGUNA FRACCIÓN DE NÚMEROS ENTEROS IRREDUCIBLE QUE SEA IGUAL A , o lo que es lo mismo no es un número racional, es un NÚMERO IRRACIONAL
El número en forma decimal es =1,41421356237..., vemos que tiene infinitas cifras decimales noperiódicas, no es de ninguno de los tipos que hemos visto antes.

NUMERABILIDAD DE LOS NUMEROS RACIONALES
El conjunto Q es el de los números racionales, o sea: los que se obtienen dividiendo dos enteros, positivos o negativos. Por ejemplo: 0,25 es racional por ser el cociente de 1 y de 4.

Aquellos números que no se pueden expresar mediante este sistema, son llamados en un alarde de imaginaciónirracionales . Tanto unos como otros son números reales, y estos últimos pueden ponerse en relación uno a uno con los puntos de una recta.

Uno de los primeros hechos interesantes es que todo irracional (pi, por ejemplo) puede ser aproximado mediante una división de enteros, tanto como se quiera; aunque nunca se obtenga dicho número exactamente. Por ejemplo 22/7 es una muy buena aproximación a pi,pues nos da su valor con un error relativo de tan sólo 0.04%. A base de numeradores y denominadores más grandes ( y menos elegantes), conseguiríamos precisiones cada vez mayores. Estamos descubriendo una característica importante del conjunto Q: es denso dentro de R.

La noción de conjunto denso es topológica, y necesita de conceptos previos (adherencia de un conjunto), pero existe unacaracterización que nos viene muy bien. Un subconjunto D de un conjunto C es denso si y solo si todo abierto de C contiene algún elemento de D . En la recta real R los abiertos son los intervalos (a,b), que comprende todos los números reales mayores que a y menores que b, así como uniones de intervalos de este tipo, e intersecciones finitas de ellos.

Tomemos el punto origen (cero) de la recta.Imaginamos un entorno abierto centrado en el cero, infinitamente pequeño, pongamos de una billonésima (10 -12) de radio. Es muy fácil encontrar números racionales en el interior de este intervalo abierto.

los correspondientes a una décima y a nueve décimas de billonésima. Eso es lo que quiere decir que Q es denso en R .

Podemos percibir que el conjunto Q “invade” todo rincón del total R. De la...
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