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Parabola
En matemática, la parábola es la sección cónica resultante de cortar un cono recto con un plano paralelo a su generatriz. Se define también como el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de una recta (eje o directriz) y un punto fijo llamado foco.
el primero en usar el término parábola fue Apolonio de Perge en su tratado Cónicas, considerada obra cumbre sobre eltema de las matemáticas griegas, y donde se desarrolla el estudio de las tangentes a secciones cónicas.
Es Apolonio quien menciona que un espejo parabólico refleja de forma paralela los rayos emitidos desde su foco, propiedad usada hoy en día en las antenas satelitales. La parábola también fue estudiada por Arquímedes, nuevamente en la búsqueda de una solución para un problema famoso: la cuadraturadel círculo, dando como resultado el libro Sobre la cuadratura de la parábola.
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[editar]Propiedades geométricas

Diferentes elementos de una parábola.

Diagrama que muestra la propiedad reflexiva, la directriz (verde), y las líneas que unen el foco y la directriz de la parábola (azul).
Aunque la definición original de la parábola es larelativa a la sección de un cono recto por un plano paralelo a su directriz, actualmente es más común definir la parábola como un lugar geométrico:
Una parábola es el lugar geométrico de los puntos de un plano equidistantes a una recta dada, llamada directriz, y a un punto fijo que se denomina foco. |
De esta forma, una vez fija una recta y un punto se puede construir una parábola que los tenga porfoco y directriz de acuerdo a la siguiente construcción. Sea T un punto cualquiera de la recta directriz. Se une con el foco dado F y a continuación se traza la mediatriz (o perpendicular por el punto medio) del segmento TF. La intersección de la mediatriz con la perpendicular por T a la directriz da como resultado un punto P que pertenece a la parábola. Repitiendo el proceso para diferentespuntos T se puede aproximar tantos puntos de la parábola como sea necesario.
De la construcción anterior se puede probar que la parábola es simétrica respecto a la línea perpendicular a la directriz y que pasa por el foco. Al punto de intersección de la parábola con tal línea (conocida como eje de la parábola) se le conoce como vértice de la parábola y es el punto cuya distancia a la directriz esmínima. La distancia entre el vértice y el foco se conoce como distancia focal o radio focal.
Los puntos de la parábola están a la misma distancia del foco F y de la recta directriz. | | Construcción de puntos en una parábola. |
[editar]Lado recto

El lado recto mide 4 veces la distancia focal
Al segmento de recta comprendido por la parábola, que pasa por el foco y es paralelo a la directriz, sele conoce como lado recto.
La longitud del lado recto es siempre 4 veces la distancia focal. |
Siendo D, E los extremos del lado recto y T, U las respectivas proyecciones sobre la directriz, denotando por W la proyección del foco F sobre la directriz, se observa que FEUW y DFWT son cuadrados, y sus lados miden FW=2FV. Por tanto el segmento DE es igual a 4 veces el segmento FV (la distanciafocal).
Las tangentes a la parábola que pasan por los extremos del lado recto forman ángulos de 45° con el mismo, consecuencia de que FEUW y DFWTsean cuadrados, junto con la construcción mencionada en la sección anterior. Además, tales tangentes se cortan en la directriz de forma perpendicular, precisamente en el punto de proyección W del foco, propiedades que pueden ser aprovechadas para construiruna aproximación geométrica del foco y la directriz cuando éstos son desconocidos.
[editar]Semejanza de todas las parábolas

Todas las parábolas son semejantes, es únicamente la escala la que crea la apariencia de que tienen formas diferentes.
Dado que la parábola es una sección cónica, también puede describirse como la única sección cónica que tiene excentricidad . La unicidad se refiere a...