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Teoría de conjuntos y operaciones

Intuitivamente pensamos en un conjunto como una colección de objetos bien
definidos. Sea A un conjunto dado y sean p y q ciertos objetos. Si p es un
elemento de A, se indicará esto escribiendo p ∈ A; si tanto p como q son
elementos de A, se escribirá p, q ∈ A; cuando q no es elemento de A, se
escribe q ̸∈ A
Si A y B son conjuntos tales que x ∈ Aimplica que x ∈ B ( es decir, que
todo elemento de A también es elemento de B), entonces se dirá que A está
contenido en B, que B contiene a A o que A es subconjunto de B, y se escribirá
A⊆B oB⊇A
Si
A⊆B
y existe un elemento en B que no está en A, se dirá que A es un subconjunto
propio de B y se escribe A ⊂ B. El conjunto vacío o nulo es aquel que no
tiene elementos y se denota por ∅

Sean A yB conjuntos dados. El conjunto de todos los elementos que
pertenecen tanto a A como a B se llama intersección de A y B y se denotará
por A ∩ B. Así, pues,
A ∩ B = {x : x ∈ A y x ∈ B}

El conjunto de todos los elementos que pertenecen a A o a B o a ambos
se llama unión de A y B y se denota por A ∪ B. Así, pues,
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A ∪ B = {x : x ∈ A o x ∈ B}

Dos conjuntos A y B son disjuntos si estosno tienen elementos en común.

Se supone que todos los conjuntos en consideración en cualquier aplicación
de una teoría de conjuntos están contenidos en algún conjunto fijo denominado el conjuto universal. Por ejemplo, en geometría de planos, el conjunto
universal comprende todos los puntos en el plano.
Teorema 1.1. Para tres conjuntos cualesquiera A, B, C tenemos:
1. A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪(A ∩ C)
2. A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
3. (A ∩ B)c = Ac ∪ B c
4. (A ∪ B)c = Ac ∩ B c
Dado un conjunto T no vacío, decimos que T sirve como un conjunto de
índice para la familia
F = {Aα } de conjuntos si para cada α ∈ T existe un conjunto Aα en la
familia F
Por la unión de los conjuntos Aα , donde α ∈ T , entendemos el conjunto {x|x ∈ Aα , para al menos, un α ∈ T }. Denotamos talconjunto por
∪
α∈T Aα .

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Por la intersección de los conjuntos Aα , donde α ∈ T , entendemos el con∩
junto {x|x ∈ Aα , para todo α ∈ T }. Denotamos tal conjunto por α∈T Aα .
Los conjuntos Aα son mutuamente disjuntos o ajenos si para α ̸= β,
Aα ∩ Aβ = ∅
Ejemplo. Sea S el conjunto de los números reales y T el conjunto de
los números racionales. Sea, para α ∈ T , Aα = {x ∈ S|x > α}. Entonces∪
∩
Aα = S mientras que α∈T Aα = ∅.
α∈T
Ejemplo. Sea T = {α ∈ R : 0 < α < 1} y para todo α ∈ T , sea
Aα = {x ∈ R : −α < x < α}. Entonces:
∪

Aα = {

∩

Aα = {
Definición. Dados dos conjuntos A y B, entonces el conjunto diferencia
A - B es el conjunto { x ∈ A|x ̸∈ B}.Si B ⊂ A entonces A - B es el complemento de B en A o complemento relativo de B en A y se denota por A \ B.
Elcomplemento absoluto de A o, simplemente, el complemento de A, representado por Ac , es el conjunto de elementos que pertenecen a U pero que no
pertenecen a A, donde U es el conjunto universal, es decir, Ac = {x ∈ U |x ̸∈
A}

Definición. Sea S un conjunto no vacío. Una partición de S es una
colección {Ai } de subconjuntos no vaciós de S tales que
1. Cada a en S pertenece a un Ai .
2. Ai ∩ Aj = ∅, i̸= j
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Ejemplo. Consideremos la siguiente colecciones de subconjuntos de S =
{1, 2, 3, ..., 8, 9} :

1. A1 = {1, 3, 5}, A2 = {2, 6}, A3 = {1, 3, 5}
2. A1 = {1, 3, 5}, A2 = {2, 4, 6, 8}, A3 = {5, 7, 9}
3. A1 = {1, 3, 5}, A2 = {2, 4, 6, 8}, A3 = {7, 9}
¿Cuáles de estas colecciones constituyen una partición de S?

Definición. Si A y B son dos conjuntos no vacíos, entonces el productocartesiano AXB de A y B es el conjunto de todos los pares ordenados (a, b)
con a ∈ A y b ∈ B.
Si A = {1, 2, 3} y B = {4, 5}, entonces el conjunto AXB es el conjunto
cuyos elementos son los pares ordenados
(1, 4), (1, 5), (2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5)

Definición. Una relación R sobre un conjunto A (con más precisión, una
relación binaria sobre A, pues es una relación entre pares de...