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Cónicas

Índice
Portada
Introducción
Clasificación
Conclusión
IntroducciónLas cónicas constituyen uno de los conjuntos de curvas más importantes de la Geometría y que más se utilizan en distintas ramas de la Ciencia y la Ingeniería.
En este trabajo presentamos lugares geométricos que son muy importantes en la Geometría analítica y que se originan de considerar cortes en diferentesángulos de un cono doble circular recto, mediante un plano, dando lugar a las figuras llamadas precisamente CÓNICAS, o también SECCIONES CÓNICAS, las que según el ángulo de corte reciben el nombre de parábola, elipse, hipérbola, y algunos casos especiales de estas curva.
Todas estas secciones cónicas tiene una propiedad común que es satisfecha por cada uno de sus puntos, y es que el cociente de ladistancia de cada uno de estos puntos hasta un punto fijo F, llamado foco, entre su distancia a una recta fija D, llamada directriz, es siempre constante, denotada por e y denominada excentricidad.

CONICAS
Se denomina sección cónica a la curva intersección de un cono con un plano que no pasas por su vértice.
Historia
ClasificaciónELIPSE
Definición: Llamamos elipse al lugar geométrico de lospuntos de un plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos del plano es constante este valor es 2a,   y   , es constante. Veamos sus elementos en los siguientes dibujos:
Los puntos fijos   y   se denominan focos, siendo el eje focal la recta que pasa por ellos.

La excentricidad de una elipse es su grado de achatamiento y su valor está determinado por la expresión:
Cuanto mayor es laexcentricidad mas achatada es la elipse. En una elipse   y por lo tanto la excentricidad es positiva y menor que uno.
Ecuación
Supongamos que el origen de coordenadas está en el centro de la elipse y que el eje focal coincide con el eje   , entonces los focos son:

HIPERBOLA
Si el ángulo beta que forman el eje y el plano que corta a la superficie cónica es menor que el semiángulo cónico alfa, lacurva intersección es una curva abierta con dos ramas, denominada hipérbola:

Si el plano secante pasa por el vértice, la curva se degenera en dos líneas que coinciden con dos generatrices.
Lugar Geométrico - Elementos de la Hipérbola
Los puntos de la hipérbola tienen una propiedad que permite definirla como el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntosfijos (focos) es constante. Esa constante es igual a 2a, la distancia entre los dos vértices de la hipérbola.
La hipérbola también puede definirse como el lugar geométrico de los centros de las circunferencias tangentes a otra dada que pasan por un punto fijo exterior a ésta. Y también es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de una circunferencia y de un punto exterior a ésta.

 Ecuación matemática de la Hipérbola
Considerando el centro de la hipérbola como el punto de coordenadas (0,0), y siendo las coordenadas de un punto P(X, Y)…

Más elementos de la Hipérbola
Las circunferencias focales de la hipérbola tienen como centro los focos y como radio 2a (en la figura, AB=|d1-d2|=2a).La circunferencia principal de la hipérbola tiene como centro el de la curva y como diámetro2a.Las asíntotas de la hipérbola son las tangentes a la curva en el infinito. Los ejes son bisectrices de las asíntotas.
 

Las asíntotas pueden trazarse con ayuda de la circunferencia principal y la de diámetro OF (O es el centro de la cónica).
 

Se denomina diámetro real de la hipérbola a cualquier recta que pase por el centro y corte a la curva. Se denomina diámetro imaginario acualquier recta que pase por el centro y no toque a la curva. El sector correspondiente a los diámetros imaginarios está determinado por las asíntotas.

El diámetro conjugado de uno dado es el lugar geométrico de los puntos medios de las cuerdas paralelas a él. Si un diámetro es real, su conjugado es imaginario, y viceversa. Las tangentes a la hipérbola en los extremos de un diámetro real son...