Lim y conicas

´
´
UNIVERSIDAD CATOLICA DE LA SANT´
ISIMA CONCEPCION
FACULTAD DE INGENIER´
IA

´
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA Y F´
ISICA APLICADAS

Pauta Certamen 2 (Forma 2)
´
Calculo 1 (IN1002C) -Primer Semestre 2014
P.1 Graficar la hip´rbola, identificando el centro, v´rtices, focos.
e
e
4y 2 − 9x2 − 16y + 72x = 164.
Soluci´n.
o
Completando cuadrados, se tiene:
4y 2 − 9x2 − 16y + 72x = 164⇐⇒ 4(y 2 − 4y + 4) − 9(x2 − 8x + 16) = 164 + 16 − 144
⇐⇒ 4(y − 2)2 − 9(x − 4)2 = 36

⇐⇒
⇐⇒

(y − 2)2

9
(y − 2)2
32

−
−

(x − 4)2

4
(x − 4)2
22

=1
=1
(0.5 puntos)

ElementosCaracter´
ısticos:

 Centro: C(4, 2).
 V´rtices: V1 (4, −1) y V2 (4, 5).
e
√
√
 Focos: F1 (4, 2 − 13) y F2 (4, 2 + 13).

(0.5 puntos)

y
14
12
10
8
6
4
2

−10 −8 −6 −4 −2
−22

4

6

8

10

12

14

x

−4
−6
−8
−10

(0.5 puntos)

2
P.2 Dibuje la regi´n que corresponde a la soluci´n del sistema de desigualdades
o
o

2
2
 (x − 2) + y ≤ 4(x − 2)2 − y ≤ 0

y ≤ 2x − 1
Soluci´n.
o
La primera restricci´n corresponde a una c´
o
ırculo de centro C(2, 0) y radio r = 2.
La segunda restricci´n corresponde a la regi´n sombreada sobre lapar´bola y = (x − 2)2 .
o
o
a
La tercera restricci´n corresponde a la regi´n sombreada bajo la recta y = 2x − 1.
o
o
(0.4 puntos)

y
4
3
2
1
−5 −4 −3 −2 −1
−1

1

2

3

4

x−2
−3
−4
−5

(0.6 puntos)

3
P.3 Calcule, si existen, los siguientes l´
ımites.
(a)

lim
x→+∞

x2 − x − x .

(b) lim (2 + |x − 4|).
x→4

(c) lim f (x), si
x→2

Soluci´n.
o(a)

lim
x→+∞


 6 − x − x2


,


x2 − 4





−4,
f (x) =



 √



x+2−2


,

x−2

si x < 2,
si x = 2,
si x > 2.

1
x2 − x − x = − . Enefecto,
2
x2

lim
x→+∞

−x−x =

lim
x→+∞

=

lim
x→+∞

=

lim
x→+∞

=

lim
x→+∞

√
x2 − x + x
−x−x √
x2 − x + x
2
2
x −x−x
√
x2 − x + x
−x
1
+x
x2 1 −
x
−1
1...