LIMITE DE UN SISTE MA



Instituto Tecnológico de Aguascalientes





Ingeniería Industrial

Estadística Inferencial I

Luz Andrea Durón López

MESC. Felipe de Jesús Gándara González

Teorema de Límite Central

25 Agosto 2015




INTRODUCCIÓN
El Teorema de Límite Central consiste en un conjunto de resultados acerca del comportamiento de la distribución del promedio de variables aleatorias.
Con Teorema de Límitecentral se refiere a que la distribución de la suma de un número muy grande de variables aleatorias se aproxima a una distribución normal, es por eso que es importante ya que se puede usar en muchos campos de aplicación en la estadística inferencial y aparte éste describe como se relaciona en la Teoría de probabilidades.
Atribuyeron grandes matemáticos a este descubrimiento pero el que sobresale es ElTeorema del Límite Central Laplace que ocupa un lugar fundamental a pesar de que nunca enunció formalmente este resultado como por ejemplo él considera el error total como una suma de numerosos errores elementales muy pequeños debidos a causas independientes.


















DESARROLLO
El Teorema Central del Límite 
La aproximación normal a la distribución binomial tiene considerable valorteórico y práctico. Desempeñó un papel importante en el desarrollo de la teoría de probabilidades, ya que condujo al primer teorema del límite. Esta primer versión del Teorema Central del Límite fue dada por De Moivre en su libro The Doctrine of Chances(1733) , para el caso especial. Laplace generalizó al caso p arbitrario y el resultado se enuncia como sigue:
Teorema de Moivre-Laplace
Si n → ∞ y kestá restringido a un intervalo k < Kn tal que K3 n/n2 → 0, entonces para todo € > 0 y n suficientemente grande se cumple:
1 − ² < ak hφ(kh) < 1 + €
Donde:
ak = b(k + m; n, p)
Donde m es el término central, es decir, el único entero de la forma :
m = np + δ con − q < δ ≤ p
h = 1 /√npq
Este teorema se puede enunciar de una forma más clara, aunque menos precisa de la siguiente forma :
b(k; n, p)≈ 1
Donde u = k−np/√npq.

TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE DE LAPLACE

El resultado obtenido por Laplace alrededor de 1810, en notación moderna, es el siguiente:
Sean X1, . . . , Xn variables aleatorias independientes, idénticamente distribuidas (iid) y acotadas, discretas o absolutamente continuas. Y sean µ = E(X1) y = Var(X1). Si n es suficientemente grande, vale la siguiente aproximación:
P(nµ + √n ≤ X1 + . . . + Xn ≤ nµ + √ n) ≈

Entendiendo estas referencias el límite central, dice que:
En muestras de tamaño n, tomadas de una población en la que la regularidad estadística no sigue una distribución normal (puede ser de cualquier forma), que tiene una media poblacional y varianza poblacional 2 , entonces si n es grande, el proceso de tomar muchas muestras y en cada una de ellas tomar sumedia, el promedio muestral produce una regularidad estadística de los valores de la media que se modela con la distribución normal con media y varianza .
Si el alejamiento de la distribución es muy fuerte, distribuciones asimétricas con mayores probabilidades en los extremos, o con varias modas, un tamaño de muestra de 30 o más ya produce la distribución normal. Sin embargo, si la distribuciónde la población es normal con muestras de tamaño 10 o más se tiene la normalidad. Si la distribución de población no es normal, pero no se aleja mucho de ella, es simétrica o casi, con la media casi igual a la moda y la mediana, entonces con muestras de tamaño 15 o 20 dependiendo de qué tan cercana es la distribución de la población a la distribución normal.


Es importante recordar que no se puededecir que una variable dada o sus promedios siguen estrictamente una distribución normal. Esta distribución es una idealización que no se da en realidad, lo que importa es que la distribución real esté cercana a la normal y este supuesto produzca conclusiones correctas.
Frecuentemente en muchas mediciones no pueden ocurrir valores negativos, pesos áreas, concentraciones de sustancias, etc.;...