Limite De Una Funcion

| |PROYECTO DE MEJORAMIENTO ACADÉMICO |
| |TALLER 4 VALOR LÍMITE DE UNA FUNCIÓN |
| |CALCULO DIFERENCIAL 2009-II|

ESTIMADO ESTUDIANTE: El Proyecto de Mejoramiento Académico busca que usted comparta un espacio con compañeros y profesores en donde se vivencien experiencias y métodos de estudio efectivos y el trabajo independiente se convierta en una disciplina y una actitud interior. En ese sentido, estas guías se constituyen en un APOYO a dicho trabajo.
Recuerda que…

1. Una función f, es unarelación o regla que hace corresponder a cada elemento x de un conjunto de partida un único elemento y en otro conjunto (de llegada). En ese sentido, se dice que y depende de x.
2. En la naturaleza todo está interrelacionado, es decir que la naturaleza puede entenderse y llegarse a conocer por medio de RELACIONES (aunque no todas las relaciones son FUNCIONES). Por ejemplo, el salario de unapersona depende del número de horas que trabaje. Simbólicamente podríamos escribir Salario=f(horas trabajadas): “El salario se puede expresar en función del número de horas trabajadas”.
3. Cuando veas y= f(x), significa que el valor y dependerá del valor que tome x.
4. Para llegar a dominar el concepto de LÍMITE DE UNA FUNCIÓN, es importante comenzar por la idea INTUITIVA de lo que es LÍMITE,en situaciones cotidianas e incluso en situaciones curiosas. Por ejemplo, piensa en la siguiente situación: Te encuentras a una distancia de 100 metros de una pared y te vas a acercar a ella de una manera poco usual; avanzarás siempre la mitad de lo que falta para llegar a la pared. Es decir, en el primer movimiento que hagas, avanzas 50 metros y te queda por avanzar 50. Así que en el segundomovimiento, avanzas la mitad de lo que falta (o sea 25). En el tercer movimiento que hagas intentando acercarte, avanzarás 12,5 metros. Luego de estos tres movimientos, te encuentras a 12,5 metros de la pared, y si continúas de la misma forma entonces nunca llegarías a ella, pues siempre habrá una distancia qué dividir! Dirías entonces que este proceso es ilimitado.
5. Piensa en otras situacionesdonde se encuentren procesos ilimitados. Aquí va otra idea: Supón que estás interesado en calcular el área de un círculo: Podrías comenzar por imaginar un cuadrado inscrito en el círculo, pero su área no coincide mucho que digamos con la que te interesa que es la del círculo, así que aumentas el número de lados al polígono, pero todavía no te satisface. Podrías seguir imaginando ilimitadamentepolígonos cada vez con mayor número de lados y el proceso sería ILIMITADO. De hecho algunas personas afirman que la circunferencia no es más que un polígono inscrito con un número INFINITO de lados.

|[pic] |[pic] |[pic] |
|Polígono de n=4 lados |Polígono de n=8lados |Polígono de n=16 lados |

De manera informal, podemos afirmar que:

ÁREA DE LA CIRCUNFERENCIA ≈ ÁREA DEL POLÍGONO CUANDO n se hace cada vez más grande (simbólicamente, lo anterior se escribe: [pic]).

6. COMPORTAMIENTO DE UNA FUNCIÓN: Analicemos ahora el comportamiento de una función cualquiera y veamos cómo el concepto de límite nos puede ayudaral respecto. Tomemos la función [pic] e investiguemos cómo es el comportamiento de la función cuando se toman valores de x cercanos a 2 (es decir cuando [pic] “equis se aproxima a dos”).

|[pic] |[pic] |
|Tabla de valores que muestra claramente que cuando x es cercano a 2, el...