limites, conceptos y teoremas calculo diferncial





UNIVERSIDAD COOPERATIVA DE COLOMBIA

FACULTAD DE INGENIERIA SECCIONAL BOGOTA
AREA:CIENCIAS BASICAS



CURSO: CALCULO DIFERENCIAL


LECTURA COMPLEMENTARIA No. 3

FECHA: 2014 - I


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Limites, Conceptos y Teoremas

Breve historia sobre el surgimiento del límite

La idea y definición de límite, en especial la del límite de funciones reales, es una cuestiónmatemáticamente delicada. Piénsese que se logró la Idea intuitiva de límite con la definición  actual recién en la segunda mitad del siglo XIX. El abordaje de este tema ofrece dificultades de índole técnico-didáctica que hace que la comprensión fina de éste ocurra en etapas sucesivas y posteriores, cuando el estudiante logre una madurez matemática suficiente.
En la primera etapa del siglo XX eltratamiento del concepto de límite en los libros españoles  estaba ligado a los conceptos de sucesión y variable. Además la idea de infinitésimos estaba implícitamente subyacente en ella y, efectivamente, el lenguaje de infinitésimos se utilizaba abundantemente a lo largo del tema. La definición del límite funcional real de una variable real a partir de sucesiones de números  reales, fue usada en los libroshispánicos hasta aproximadamente 1965. En esta época esta definición fue completada con una interpretación geométrica del límite de una función en un punto, la cual utilizó entornos simétricos.
Como es bien conocido, a comienzos de los años  setenta, triunfo en casi todo el mundo occidental la enseñanza de las llamadas “matemáticas modernas”. Siguiendo los libros españoles las ideas de estamatemática, los conjuntos y las aplicaciones eran los cimientos sobre los que se pretendía construir el edificio de la matemática, y las estructuras, las herramientas para construir dicho edificio. Estas ideas se vieron reflejadas en el tratamiento.
De la Idea intuitiva del límite: la orientación topológica, no fue casual sino que fue justamente la preconizada por los pioneros de la reforma de la matemática,Papy y Dieudonne entre otros, de acuerdo con las ideas bourbakistas. Por ello los conceptos de conjunto, número  real y entorno se utilizaban constantemente. 

En la segunda mitad del siglo XX, aproximadamente entre 1967 y 1975, la definición de límite fue evolucionando hasta un mayor formalismo. En algunos libros españoles se enfatizó la definición por sucesiones, aunque también apareció de modoresidual la definición topológica que utilizó entornos generales; en cambio en otros textos del mismo país


Límite de una función
Intuitivamente, el hecho que una función f alcance un límite L en el punto c, significa que el valor de f puede ser tan cercano a L como se desee, tomando puntos suficientemente próximos a c, sin importar el valor que pudiera adquirir o en el punto c.
Definición formalFunciones de variable real

Visualización de los parámetros utilizados en la definición de límite.

Si la función  tiene límite  en  podemos decir de manera informal que la función  tiende hacia el límite  cerca de  si se puede hacer que  esté tan cerca como queramos de  haciendo que  esté suficientemente cerca de  siendo  distinto de .
Los conceptos cerca y suficientemente cerca sonmatemáticamente poco precisos. Por esta razón, se da una definición formal de límite que precisa estos conceptos. Entonces se dice:
El límite de una función f(x), cuando x tiende a c es L si y sólo si para todo  existe un  tal que para todo número real x en el dominio de la función  .
Esto, escrito en notación formal:

Lo importante es comprender que el formalismo no lo hacen los símbolos matemáticos, sino, laprecisión con la que queda definido el concepto de límite. Esta notación es tremendamente poderosa, pues, nos dice que si el límite existe, entonces se puede estar tan cerca de él como se desee. Si no se logra estar lo suficientemente cerca, entonces la elección del δ no era adecuada. La definición asegura que si el límite existe, entonces es posible encontrar tal δ.
No obstante, hay casos...