Limites de sucesiones

Limite de una sucesión
Se le llama sucesión a un conjunto de números dispuestos uno a continuación de otro, en si encontrar el límite de una sucesión es poder encontrar, si es que existe, a quenumero se aproximan sus términos.
Los números a1, a2, a3,…; se llaman términos de la sucesión.
El subíndice indica el lugar en el término ocupa en la sucesión.
El termino general an es un criterioque nos permite determinar cualquier término de la sucesión.
Ejemplo:
{n-1/2.n} = { 0 , ¼ , 2/6 , 3/8 , 4/10, 5/12, 6,14 , 7/16 , …}
n1 = 1-1/2(1) = 0/2 = 0
n2 = 2-1/2(2) = ¼ = 0,25
n3 = 3-1/2(3)= 2/6 = 0,33
n4 = 4-1/2(4) = 3/8 = 0,375
n5 = 5-1/2(5) = 4/10 = 0,4
n6 = 6-1/2(6) = 5/12 = 0,416
n7 = 7-1/2(7) = 6/14 = 0,428
n8 = 8-1/2(8) = 7/16 = 0,437
n9 = 9-1/2(9) = 8/18 = 0,444
n1000 =1000-1/2(1000) = 999/2000 = 0,4995
En esta sucesión se puede observar que el límite es 0,5 ya que si lo remplazamos por cualquier otro número va a tender siempre a 0,5.

Propiedades de límite deuna sucesión:
1. El limite si existe si es único.
2. Si una sucesión an tiene límite, todas las subsucesiones tienen el mismo límite que an.
3. Todas las sucesiones convergentes están acotadas.
4.Hay sucesiones acotadas que no son convergentes.
5. Hay sucesiones convergentes que no son monótonas.

Sucesiones convergentes
Son las que tienen limite finito
Ejemplo:
{n/n+1} = {½ , 2/3 , ¾, 4/5 , 5/6 , … }
n1 = 1/1+1 = ½ = 0,5
n2 = 2/2+1 = 2/3 = 0,666
n3 = 3/3+1 = ¾ = 0,75
n4 = 4/4+1 = 4/5 = 0,8
n5 = 5/5+1 = 5/6 = 0,833
n6 = 6/6+1 = 6/7 = 0,857
n20 = 20/20+1 = 20/21 = 0,952n100 = 100/100+1 = 100/101 = 0,990
n10000 = 10000/10000+1 = 10000/10001 = 0,9999
El límite de esta sucesión es 1 ya que si remplazamos n por cualquier número podemos observar que este va a tender a 1.Sucesiones Divergentes:
Son las que tienen limite infinito (+∞ ó -∞)
Ejemplo:
{2n+3} = {5 , 7 , 9 , 11 , 13 , …}
n1 = 2(1)+3 = 5
n2 = 2(2)+3 = 7
n3 = 2(3)+3 = 9
n4 = 2(4)+3 = 11
n5 =...