limites de una sucesion

3.1 LIMITES DE UNA SUCESIÓN
El límite de una sucesión es el número al que tiende cuando n toma valores cada vez mayores.
Este valor puede ser un número o también puede ser +∞ ó -∞.
Se escribe


Resolución:







Limite finito de una sucesión
Considerando la sucesión an=1/n
an=1/n
a1=1=1 a6=1/6=0.17
a2=1/2=0.5a7=1/7=0.14
a3=1/3=0.33 a8=1/8=0.12
a4=1/4=0.25 a9=1/9=0.11
a5=1/5=0.2 a10=1/10=0.1
A medida que aumenta n, los términos de la sucesión son cada vez más cercanos a 0. Si representamos los términos como puntos en la línea, esto significa que los puntos an se apiñan cada vez más cerca del punto 0 conforme n crece.Se dice que an tiene a 0, o que tiene limite 0 se expresa simbólicamente por liman =0 o bien, ocasionalmente, por la notación abreviada Limite infinito de una secesión considerando la sucesión an=n2
a1=1 a10=100
a2=4 a100=10,000
a3=9
a4=16
Al crecer n, an no tiende a un límite definido, si no crece más alla de toda cota. Se dice que an tiende a infinito
Convergencia y divergente
Cuandouna sucesión tiene límite finito se dice es convergente y converge a a.
Una sucesión que tiene límite infinito se llama divergente.
Una sucesión que carece de límites se llama oscilante
La sucesión an = 1/n converge a 0
La sucesión n2 = es divergente
3.2 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN DE VARIABLE REAL
El límite de la función f(x) en el punto x0, es el valor al que se acercan las imágenes (las y)cuando los originales (las x) se acercan al valor x0. Es decir el valor al que tienden las imágenes cuando los originales tienden a x0.
Esto, escrito en notación formal:

Se dice que la función f(x) tiene como límite el número L , cuando x tiende a x0, si fijado un número real positivo ε , mayor que cero, existe un numero positivo δ dependiente de ε , tal que, para todos los valores de xdistintos de x0 que cumplen la condición |x - x0| < δ , se cumple que |f(x) - L| 0 si n es par
8) Función compuesta
Sean f y g dos funciones tales que
y
Entonces:

9) Funciones trigonométricas
Sea c un número real en el dominio de la función trigonométrica dada.






10) Sea c un número real y sea f(x)=g(x) para toda x c en un intervalo abiertoque contiene a c. Si existe el , entonces también existe el de f(x) y

=
11) Funciones trigonométricas especiales
a)

b)

12) Teorema del encaje
Si h(x) f(x) g(x) para toda x en un intervalo abierto que contenga a c, excepto posiblemente en c.
Si y ,

Entonces
3.5.- LIMITES LATERALES
Para analizar el límite de una función enun punto, es necesario acercarse a ese punto tanto por derecha como por izquierda, a esta forma de acercarse al punto analizado por los lados se le conoce como Límites Laterales y se simboliza por:

De hecho, para poder decir que el límite en un punto existe, se debe verificar que el límite de f(x) por la izquierda es igual al límite de f(x) por la derecha, por ejemplo:

Limites Laterales
Enel caso A, se ve que cuando Xo se acerca a 2 por la izquierda (X0-), la imagen de f(x) se acerca a 4 por abajo, mientras que si Xo se acerca por la derecha(X0+), la imagen se acerca a 4 por arriba. En ambos casos la imagen se acerca a 4, por lo tanto, el límite de f(x) cuando Xo se acerca a 2, es 4.
En el caso B, Xo se acerca a 2 y su imagen se acerca a 2, pero cuando Xo se acerca por laderecha, se ve que la imagen se acerca a 0. En este caso las imágenes se acercan a diferentes valores por lo tanto se dice que no hay un límite cuando Xo se acerca a 2.
Ejemplos:
Indicar si las siguientes funciones tienen límites en los puntos indicados:
1.-

2.-

En general, denotamos por:
para expresar que: x se aproxima al valor “a” por la derecha.
Esto es por valores de x > a....