Limites de una función en un punto

LÍMITE DE UNA FUNCIÖN EN UN PUNTO.

Concepto.

1)Se pretende determinar a que valor de salida y se aproxima la función cuando las entradas se van aproximando a un valor determinado de x quedesignaremos por la letra a.

Ejemplo:

Se nos índica que el valor de salida de la función y=(x+3)/2 es 2 cuando el valor de la x se aproxima a 1.


2)Evidentemente al valor x=a nos podemosaproximar por la izquierda y la derecha . Surge de esta manera el concepto de límite lateral por la izquierda y por la derecha.
Una función tiene límite en x=a cuando existen los dos límites laterales yson iguales.

Ejemplo:




En este caso vemos que el límite tanto por la izquierda como por la derecha cuando x tiende a 2 es 4.
El límite de la función es 4 aunque la función no tenga imagenen x = 2.
3)Para calcular el límite de una función en un punto, no nos interesa lo que sucede en dicho punto sino a su alrededor.
Ejemplo:
Dada la función:

Hallar .


Como no coinciden loslímites laterales, la función no tiene límite en x = 0.
Cálculo del límite en un punto
1)Si f(x) es una función usual (polinómicas, racionales, radicales, exponenciales, logarítmicas, etc.) y estádefinida en el punto a, entonces se suele cumplir que:

Es decir: para calcular el límite se sustituye en la función el valor al que tienden las x.



2)Cálculo de límites en puntos fuera deldominio de la función.
No podemos calcular porque el dominio de definición está en el intervalo [0, ∞), y por tanto x no puede tomar valores que se acerquen a -2.
Sin embargo si podemos calcular ,aunque 3 no pertenezca al dominio, D= − {2, 3}, porque podemos tomar valores del dominio tan próximos a 3 como queramos.
3) ¿Para qué valores de x es más interesante el calculo de un limite?
Envalores de x situados en la frontera del dominio de la función.
-Para determinar puntos de discontinuidad.
-Para determinar asíntotas verticales.
En valores de x que sean cambio de definición...