limites de una función real



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Introducción

En este curso de Matemática 1, al finalizar el tema de funciones reales estamos en la frontera
entre lo que comunmente se le llama Precálculo (Matemáticas previas al Cálculo) y el Cálculo.
Pero nos planteamos la pregunta ¿qué es el Cálculo?. Para tener una idea inicial de lo que
trata, diremos queel Cálculo es la matemáticas que aplica en el estudio del cambio (velocidad
y aceleración). También se encarga del estudio de: pendientes, recta tangente, área, volumen,
longitud de arco, centro de masa, concavidad, entre otros conceptos. Por esta amplia variedad
de aplicaciones el Cálculo resulta imprescindible para un ingeniero.
Veamos algunas diferencias entre las aplicaciones delPrecálculo y del Cálculo.

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1. Idea intuitiva de límite
Consideremos la función f ( x ) =

e x −1 cuyo dominio es R - {0} y supóngase que queremos
x

saber que ocurre con f(x) cuando x se aproxima a cero, esto es necesario si se quiere
representar la función gráficamente. Para tener una idea clara del comportamiento de lafunción en las cercanías de x = 0, se construye una tabla de valores dándole a x valores
cercanos a cero tanto por la izquierda como por la derecha.
x se aproxima a 0 por la derecha

x se aproxima a 0 por la izquierda

x

1

0,5

0,2

0,1

0,05

0,01

0

-0,01

-0,05

-0,1

-1

f(x)

1,7182

1,2974

1,1070

1,0517

1,0254

1,0050

¿?

0,9950

0,97540,9516

0,6321

f(x) se aproxima a 1

f(x) se aproxima a 1

Como puede observarse en la tabla f(x) se acerca a 1 cuando x tiende a cero. En el lenguaje
de límites se dice que “el límite de f(x) cuando x tiende a cero es 1” y se escribe así:

lim f ( x ) =1

x →0

Una observación importante es que en este caso x no puede igualarse a cero, pero si puede
acercarse a cero tantocomo se desee.



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La figura anexa es la representación
x
f ( x ) = e −1 , en
x
ella no se puede apreciar que el punto
(0,1) no está en el gráfico, a pesar de
haber sido realizado con un buen software
de cálculo. Resulta interesante plantearse
por qué no se observa este detalle

gráfica de la función

Consideremos ahora la funciónparte entera

g ( x ) = [ x ]. Si nos preguntamos cuál será el

límite de g(x) cuando x tiende a 2.
Se sabe que si x se aproxima a 2 por la izquierda entonces
por la derecha entonces

[ x ]= 2 así que

[ x ]=1 y si x se acerca al valor 2

lim g ( x ) no existe

x→2

2. Límite de una función en un punto
2.1) LIMITE EN UN PUNTO
2.1.1) Una definición informal de límite
Decir que elnúmero real L es el límite de la función f cuando su variable independiente x se
acerca al número a, significa que la distancia entre f(x) y L puede hacerse tan pequeña como
queramos, a condición de que x se encuentre suficientemente cerca de a por cualquiera de sus
lados, pero no igual que a.

2.1.2) Definición de límite finito
Sean, f una función real con dominio Df y...