Limites en matemática


1- Define límite de una función en un punto
2- Limite lateral
3- Limites definidos y no definidos
4- Asíntotas Verticales y Horizontales en los límites
5-Limite Infinito en un punto
6- Definición Algebraica de límite
7- Historia de Límite
8- Para que se utiliza limite (aplicación)
9- Continuidad
10- Discontinuidad, evitables y esenciales

11-Situaciones Problemáticas de límite
12-Definir 0/0; 1/0; 0/1; infinito/infinito; 1/infinito; 0/inf; inf/1
13- Calculo algebraico de límite
14- Indeterminaciones salvables e insalvables

1 Limites de una función en un punto
Significado de Lim f (x) cuando


(límite de f(x) cuando x tiende a c) es el comportamiento de la función cuando x se aproxima a c, sin importar si es por la derecha o por la izquierda.
Si , decimos que .Análogamente, cuando los dos límites laterales son o .
Si los dos límites laterales no toman el mismo valor, se dice que no existe el Límite en un punto en que la función es continua



2 Limites laterales
Para que exista el límite de una función, deben existir los límites laterales y coincidir.

El significado de los signos en la notación para límites laterales se interpreta de lasiguiente manera

x ® a- significa que x tiende a a tomando valores menores que a, es decir valores que se encuentran a su izquierda.
x ® a+ significa que x tiende a a tomando valores mayores que a, es decir valores que se encuentran a su derecha.

Definición de límite por la derecha
Se dice que si y solo si para cada existe tal que si entonces es el límite por la derecha de en "a".Observe que no hay barras de valor absoluto alrededor de , pues es mayor que cero ya que .
Definicion de limite por la derecha
Se dice que si y solo si para cada existe tal que si entonces es el límite por la izquierda de en "a".

Note que la expresión es mayor que cero, pues por lo que .
En adelante determinaremos los límites laterales a partir de la representación gráfica de unafunción cuya ecuación se da.
x
5 Definición de límite infinito en un punto
En respuesta a la segunda pregunta planteada, decimos que la función   tiende a  cuando x tiende a a  por la derecha. En cambio, en el "Ejemplo 2", la función   tiende a  cuando xtiende a a  por la derecha.

Más concretamente:
Se dice que  tiende a  cuando x  tiende a a por la derecha si, fijado un número real tanpequeño como queramos, K, siempre es posible encontrar un número real, δ , tal que, si xpertenece al intervalo "situado" a la derecha de a, (a,a+δ), entonces . Se designa por:

Se dice que  tiende a  cuando x tiende a a por la derecha si, fijado un número real tan grande como queramos, K, siempre es posible encontrar un número real, δ , tal que, si xpertenece al intervalo "situado" a la derechade a, (a,a+δ), entonces . Se designa por:

De forma análoga, se pueden definir los límites laterales infinitos por la izquierda.

Como ejemplo, tenemos que . Como no tiene límite por la izquierda, entonces .


Asintotas verticales












Ejemplos de funciones Funcion racional Indeterminacion k /0














Asíntotas horizontales

Ejemplos de asíntotashorizontales










Ejemplos de asíntotas oblicuas










5 Limite infinito en un punto
ecimos que la función   tiende a  cuando x tiende a a  por la derecha
Más concretamente:
Se dice que  tiende a  cuando x  tiende a a por la derecha si, fijado un número real tan pequeño como queramos, K, siempre es posible encontrar un número real, δ , tal que, si xpertenece alintervalo "situado" a la derecha de a, (a,a+δ), entonces . Se designa por:

Se dice que  tiende a  cuando x tiende a a por la derecha si, fijado un número real tan grande como queramos, K, siempre es posible encontrar un número real, δ , tal que, si xpertenece al intervalo "situado" a la derecha de a, (a,a+δ), entonces . Se designa por:

De forma análoga, se pueden definir los límites laterales...