Limites Explicados

Limites

Antes de comenzar a estudiar la derivada y sus aplicaciones es necesario conocer la tendencia o sucesión de una función y es por ello que antes de desarrollar nuestra propuesta es necesario conocer esa tendencia o sucesión de una función la cual en matemáticas recibe el nombre de límite. Definición de límite de una sucesión: La definición del límite en el caso de una sucesión es muyparecida a la definición del límite de una función cuando x va a escribimos . Decimos que la sucesión an tiende hasta su límite a, o que converge o es convergente (a a), y

si podemos encontrar un número N tal que todos los términos de la sucesión a a cuando n crece sin cota. Más precisamente:

Definición de límite de una función: Informalmente, decimos que el límite de la función f(x) es Lcuando x tiende a p, y escribimos

Si se puede encontrar suficientemente cerca de tal que que decimos que:

es tan

Esta definición se llama frecuentemente la definición épsilon-delta del límite.

Límites laterales:
El límite lateral por la izquierda de una función y=f(x) en el punto x = a es el valor al que se aproxima f(x) cuando x se aproxima al valor de a por valores menores que a. Lorepresentamos por:

El límite lateral por la derecha de una función y = f(x) en el punto x = a es el valor al que se aproxima f(x) cuando x se aproxima al valor de a por valores mayores que a . Lo representamos por :

Ejemplo :

Ejercicios resueltos 1. Determinar Lim f ( x ) existe
x → −4

F(x) =

x + 4, si x ≤ -4 4 – x, si -4 < x

x → a −

Lim ( x + 4 ) =>

x  −4 − →

Lim(− 4 + 4) = 0

x → a +

Lim (4 − x ) =>

x → −4 +

Lim (4 − (− 4)) = 8

∴ Lim − f ( x ) ≠ Lim + f (x ) => Lim f ( x ) No Existe
x → −4 x → a x → −4

2. Determinar Lim f ( x ) existe
x → 3

F(x) =

x - 1, si x ≤ 3 3x – 7, si x > 3

x → 3−

Lim x − 1 =>

x → 3−

Lim 3 − 1 = 2

x → 3+

Lim 3 x − 7 =>

x → 3+

Lim 3(3) − 7 = 2

∴ Lim − f ( x ) =Lim + f ( x ) => Lim f ( x ) Si Existe
x → 3 x → 3 x → 3

Indeterminaciones Hay varios tipos de indeterminaciones, entre ellas: [ refiere al límite a infinito y 0 al límite a 0 (no al número 0)]

Ejemplo: 0/0 es una indeterminación pues límites de cocientes donde los límites de dividendo y divisor separadamente son cero, pueden terminar dando cualquier cosa, como los siguientes:

,,

,

Ejercicios resueltos de indeterminaciones

Límites indeterminados

0 0

1. Lim

x 2 − 16 x → 4 x − 4

=

(4)2 − 16 = 0
4−4 0

= Lim

(x − 4)(x + 4) x → 4 (x − 4)

= Lim ( x + 4 )
x → 4

= 4+4 =8

2. Lim

x3 −1 x  1 x −1 →

=

1−1 0 = 1−1 0

= Lim

(x − 1)(x 2 + x + 1) x 1 → (x − 1)

= Lim x 2 + x + 1
x 1 →

(

)

= (1) + 1 + 12

=3

3. Lim
x → 4

x −2 x−4

=

4 −2 2−2 0 = = 4−4 4−4 0

= Lim
x → 4

(

)( x + 2) (x − 4)( x + 2)
x −2

= Lim
x → 4

(x − 4)(

( x)

2

− (2 )

2

x +2

)

= Lim
x → 4

(x − 4) (x − 4)( x + 2)
1

= Lim
x → 4

(

x +2

)

=

1 4+2

= =

1 2+2 1 4

Límites Indeterminados

∞ ∞

1. Lim
x → ∞

3x + 4 ∞ = 5x + 6 ∞3x + x = Lim x → ∞ 5 x + x

4 x 6 x

4 x = Lim 6 x → ∞ 5+ x 3+

4 ∞ = 6 5+ ∞ 3+

=

3+0 5+0

=

3 5
5x 2 − 4x ∞ = 3 2 x → ∞ 3 x + 6 x ∞

2. Lim

5x 2 4 x − 3 x3 x = Lim 3 x → ∞ 3 x 6x 2 + 3 x3 x

5 4 − x x2 = Lim 6 x → ∞ 3+ x

5 4 − ∞ ∞ = 6 3+ x

=

0−0 3+0

=0

3. Lim
x → ∞

2x + 4 x +4
2

=

∞ ∞

= Lim
x → ∞

2x 4 + x x x2 4 + 2 2 x x2+ = Lim
x → ∞

4 x 4 1+ 2 x

4 ∞ = 4 1+ ∞ 2+

=

2+0 1+ 0

=2

Límites indeterminados ∞ − ∞

1. Lim
x → ∞

(x

2

+1 − x −1 = ∞ − ∞

)

= Lim
→ ∞ x

(

x2 +1 − x2 −1

(
2 2 2

)( x
2

2

+ 1 + x 2−1

x2 +1 + x2 −1

)

)

=

x → ∞

( x + 1) − ( x − 1) Lim ( x + 1 + x − 1)
2 2

= Lim
x → ∞

x2 +1− x2 −1

(x
(

(

)

2...