Limites infinitos CONTINUIDAD

UNIDAD 1: FUNCIONES, LÍMITE Y
CONTINUIDAD

Límites al infinito
Límites infinitos

1



Analicemos …



clientes



f

¿ 50 ?




¿Cuál es el máximo número esperado de
clientes al cual se tiende en
el largo plazo?




























tiempo
(años)

 

Entonces:









 
 
¿ t
?

lim f (t ) 50
t  

Esto es unlímite al infinito, que nos indica a qué valor se
aproxima la función cuando t crece indefinidamente.
2

LÍMITES AL INFINITO
Si los valores de la función f (x) tienden al número L
cuando x aumenta indefinidamente, se escribe:
lim f ( x)  L

x 

De manera similar, valores de la función f (x) tienden
al número M cuando x disminuye indefinidamente,
se escribe:
lim f ( x)  M
x 

3

POREJEMPLO….
y = f (x)
y=M

lim f ( x)  M

y
M

x 

x

L

y=L

lim f ( x)  L

x 

4

POR EJEMPLO….

5

LÍMITE AL INFINITO PARA FUNCIONES POLINÓMICAS

f ( x)  an x n  an 1 x n 1  K  a1 x  a0

lim f ( x)  lim  an x n
x 
x 

Es decir, para hallar el límite de un polinomio en el
infinito, se halla el límite del término de mayor grado
(término dominante).
Ejemplos:


2 3
59
 x x 
a)xlim
 
6
 3

4
2
(

x

x
 x  5)
b) lim
x  

6

INTERROGANTE . . . . .
Sabemos que para n > 0, lim x n  , ¿cuál es el valor
x  
de los siguientes límites?

lim

1

n
x

lim

1

n
x

x  

x  

7

INTERROGANTE . . . . .

También tenemos: 

Por    , Tenemos que tener cuidado con la definición de la potencia de los números

negativos. En particular:

8

EJERCICIO . . . ..

9

EJERCICIO . . . . .

Encuentra las asíntotas verticales y horizontales de la gráfica de 

10

EJERCICIO . . . . .

11

EJERCICIO . . . . .

Encuentra las asíntotas verticales y horizontales de la gráfica de 

http://www.sosmath.com/calculus/limcon/limcon04/limcon04.html
12

EJERCICIO . . . . .
Encuentra las asíntotas verticales y horizontales de la gráfica de 

Si  x=2 es una asintotavertical.  

Si y=1 y  y= -1 son asintotas horizontales

13

límite al infinito para funciones racionales
an x n  an 1 x n 1  K  a1 x  a0
f ( x) 
bm x m  bm1 x m 1  K  b1 x  b0

Resolución:
Divida el numerador y denominador entre el x elevado
al mayor grado del denominador y calcule el límite de la
nueva expresión:
 an x n  an 1 x n 1  K  a1 x  a0


m
x
lim f ( x)  lim 

m1
x 
x  b x m  b
 K  b1 x  b0
m 1 x
 m


xm

14

Para funciones racionales:

an x n  an 1 x n 1  K  a1 x  a0
f ( x) 
bm x m  bm 1 x m 1  K  b1 x  b0

Resolución simplificada:
Calcular el límite, tomando en cuenta el término
dominante del numerador y del denominador:
an x n
lim
m
x   b x
m

15

EJERCICIOS:
Calcule los siguientes límites

1.

4x2  5
lim
2
x  2 x  3

2.

x 4  3x
lim
x   1  2 x

3.

x 4  3x
lim
x   1  2 x

4. lim
x  

x 7
x2  3

16

PROBLEMA
Si se siembra cierto cultivo en una tierra donde el nivel
de nitrógeno es N, entonces el volumen de la cosecha Y
puede modelarse con la función de Michaelis – Menten:
AN
Y (N ) 
BN

N 0

donde A y B son constantes positivas. ¿Qué le sucede a
la cosecha cuando el nivel denitrógeno se incrementa
indefinidamente?

17

LÍMITES INFINITOS
f ( x) es un límite infinito si f (x)
Se dice que lim
x a
aumenta o disminuye ilimitadamente cuando x→a.
Técnicamente, este límite no existe, pero se puede
dar más información acerca del comportamiento
de la función escribiendo:
lim f ( x)   si f (x) crece sin límite cuando x→a.
xa

lim f ( x)   si f (x) decrece sin límite cuandox→a.
xa

18

LÍMITES INFINITOS

La línea vertical x = 3. Esta línea se llama
una ASÍNTOTA VERTICAL.

19

LÍMITES INFINITOS
Para una función dada f (x), hay cuatro casos, en los que asíntotas
verticales se pueden presentar:
(i)
(ii)
(iii)
(iv)

20

Ejemplo 2:
De la gráfica de la función f, halle en caso exista, los
siguientes límites:

21

¡INTERROGANTE!
A partir de la gráfica . . . , ¿en...