Límites infinitos y límites al infinito

Límites infinitos y límites al infinito
El símbolo se lee infinito, es de carácter posicional, no representa ningún número real.
Si una variable independiente está creciendo indefinidamente a través de valores positivos, se escribe

(que se lee: tiende a más infinito), y si decrece a través de valores negativos, se denota como

(que se lee: tiende a menos infinito).
Similarmente,cuando crece indefinidamente y toma valores positivos cada vez mayores, se escribe
,
y si decrece tomando valores negativos escribimos
.
Consideramos la función definida por para . Vamos a determinar el comportamiento de la función cuando cuando y cuando . Para ello nos ayudamos de las tablas siguientes:
a.


En este caso, cuando , la función tiende a tomar valores positivoscada vez mayores. Esto podemos escribirlo como , es decir
b.


Ahora, cuando toma valores cercanos a 2 pero menores que 2, la función tiende a valores negativos cada vez menores. Es decir, cuando , o sea .
c.
Ahora observe que es la que tiende a tomar valores positivos cada vez mayores, obteniendo como resultado que tiende a valores cercanos a cero.
Así , o sea, cuando .
d.En forma similar a la tabla anterior se tiene que cuando es decir,
Podemos representar gráficamente el comportamiento de la función en la forma siguiente.

Consideramos ahora la función definida por para , cuya representación gráfica es la siguiente:

Podemos decir que:
a. y
b. y
Ejercicio
Determine: , , , , , , utilizando para ello la función .

Daremosahora algunas definiciones sobre límites infinitos, y límites al infinito.
Definición
Se dice que crece sin límite cuando tiende a , que se denota , si para todo número real , (sin importar su magnitud), existe tal que siempre que .

Gráficamente se tiene:


Esta definición nos dice que es posible hacer tan grande como se quiera, (es decir, mayor que cualquier número positivo ),tomando suficientemente cerca de .
Ejemplo
Consideremos la representación gráfica de la función definida por:

Demostremos ahora que
Para hacer la prueba, debe establecerse que dado un existe tal que .
Observe que: .
Luego, dado , escogemos de tal forma que se satisfaga que .
Si tomamos, por ejemplo, cuando , es decir, cuando .
Definición
Se dice que decrece sin límitecuando tiende a , que se denota por , si para todo número real , existe una tal que
Gráficamente se tiene que:

La definición anterior afirma que es posible hacer menor que cualquier número negativo , tomando suficientemente cerca de .
Ejemplo
Consideremos la representación gráfica de la función definida por


Demostremos ahora que
Para hacer la prueba debe establecerseque dado un , existe siempre que
Observe que (el sentido de la desigualdad cambia pues ).
Además .
Note que sí tiene sentido pues
Luego, si y solo si por lo tanto tomamos .
Así, dada , existe , tal que siempre que
Si por ejemplo, tomamos entonces o sea , por lo que siempre que

Definición
Se dice que tiende a cuando tiende a por la derecha, y se escribe , sise cumple que a cada número positivo , (tan grande como se quiera), corresponde otro número positivo , (que depende de ) tal que .

Similarmente, se dice que tiende a cuando tiende a por la izquierda y se escribe si siempre que (Observe que es mayor que cero pues ya que ).
-El comportamiento de la función definida por cuando , está regido por la definición anterior.
Recuerdela representación gráfica de esta función hecha anteriormente.
-Los símbolos y se definen análogamente, escribiendo en vez de . (note que si entonces )
Gráficamente se tiene:

En esta representación gráfica se tiene que tanto al acercarnos a por la derecha como por la izquierda, los valores de la función son negativos cada vez mayores, (mayores en el valor absoluto), es decir, se...