Limites Infinitos

CAPÍTULO

3
Límite de una función

1

3.4 Límites infinitos
Si dado cualquier número M > 0, f .x/ > M con tal de tomar a x suficientemente cerca de x0 , diremos que f .x/ diverge a C1 (se lee “más infinito") y lo denotaremos así: lím f .x/ D C1.
x!x0

Gráficamente lím f .x/ D C1 quiere decir que dada cualquier recta y D M con M > 0, la gráfica de f .x/ en cierto intervalo con centro en x0está arriba de tal recta, exceptuando lo que ocurre en x0 .
y x!x0

f .x/ > M

x!x0 M

lím f .x/ D C1.

y D f .x/

x0

x
 ¡

x cerca de x0

1

canek.azc.uam.mx: 22/ 5/ 2008

Si dado cualquier número N < 0, f .x/ < N con tal de tomar a x suficientemente cerca de x0 diremos que f .x/ diverge a 1 (se lee “menos infinito") y lo denotaremos así: lím f .x/ D x!x0 1. 1

2Gráficamente lím f .x/ D
x!x0

Cálculo Diferencial e Integral I 1 quiere decir que dada cualquier recta y D N con N < 0, la
y

gráfica de f .x/ en cierto intervalo con centro en x0 está abajo de tal recta, exceptuando lo que ocurre en x0 .
x0
¢£

x cerca de x0 x

y D f .x/ N

x!x0 f .x/ < N

lím f .x/ D

1.

Las definiciones de lím f .x/ D
x!x0

Tenemos entonces:
x!x0 x!x0

C1 1

y delím f .x/ D
C x!x0

C1 1

son análogas.

lím f .x/ D C1 , lím f .x/ D lím f .x/ D C1.
C x!x0

x!x0

lím f .x/ D 1 , lím f .x/ D lím f .x/ D
x!x0
C x!x0

1.
x!3

Ejemplo 3.4.1 Dada la función f .x/ D

1 .x 3/2

, mostrar numéricamente que lím f .x/ D C1.

H Numéricamente podemos dar a la variable x valores cada vez más cercanos (por la izquierda o por la derecha) al númerox0 D 3; obtener las imágenes f .x/ correspondientes y observar su comportamiento. x 2:9 2:99 2:999 2:9999 # 3 2 f .x/ 1 D 102 10 2 1 D 104 10 4 1 D 106 10 6 1 D 108 10 8 # C1 x 3:1 3:01 3:001 3:0001 # 3C f .x/ 1 D 102 10 2 1 D 104 10 4 1 D 106 10 6 1 D 108 10 8 # C1

3.4 Límites infinitos

3

Observamos aquí que, cuanto más se acerca x al número x0 D 3, las imágenes f .x/ .D 102 ; 104 ; 106; 108 ; :::/ son cada vez más grandes. Este comportamiento es el que (intuitivamente) nos lleva a afirmar que f .x/ ! C1 cuando x ! 3. Es decir lím f .x/ D C1. Gráficamente se ve así:
y x!3

y D f .x/

x
¤¥

3

Ejemplo 3.4.2 Dada f .x/ D

1 , mostrar numéricamente que lím f .x/ D 1. x!2 .x 2/4

H Damos a x valores numéricos cada vez más cercanos al número x0 D 2, primero por laizquierda .x ! 2 / y luego por la derecha .x ! 2C /; obtenemos las imágenes f .x/ correspondientes y observamos su comportamiento. 1. Cuando x ! 2 : 1 1 1 D D D 104 I .1:9 2/4 . 0:1/4 . 10 1 /4 10 4 1 1 1 1 x D 1:99 ) f .x/ D D D D D 108 I 4 4 2 /4 .1:99 2/ . 0:01/ . 10 10 8 1 1 1 1 x D 1:999 ) f .x/ D D D D D 1012 : 4 4 3 /4 .1:999 2/ . 0:001/ . 10 10 12 D 1

x D 1:9 ) f .x/ D

Observamos aquí quelas imágenes f .x/ son negativas y cada vez de mayor valor absoluto. Intuitivamente decimos que f .x/ ! 1 cuando x ! 2 . Esto es lím f .x/ D 1.
x!2

2. Cuando x ! 2C :

x D 2:1 ) f .x/ D

1 1 1 D D D 104 I 4 4 1 /4 4 .2:1 2/ .0:1/ .10 10 1 1 1 1 x D 2:01 ) f .x/ D D D D D 108 I 4 4 2 /4 8 .2:01 2/ .0:01/ .10 10 1 1 1 1 x D 2:001 ) f .x/ D D D D D 1012 : .2:001 2/4 .0:001/4 .10 3 /4 10 12 D1

Aquí también observamos que las imágenes f .x/ son negativas y cada vez de mayor valor absoluto; por lo cual (intuitivamente) decimos que f .x/ ! 1 cuando x ! 2C . Es decir, lím f .x/ D 1.
x!2C

3

4 3. Ya que lím f .x/ D
x!2

Cálculo Diferencial e Integral I 1 & lím f .x/ D
x!2C

1, podemos afirmar que lím f .x/ D
x!2

1.

Gráficamente se ve así:
y

2 x
¦§

y D f .x/Además tenemos en general Si lím g.x/ D 0 y si g.x/ > 0 cerca de x0 , entonces lím
x!x0

c D C1 si c > 0; x!x0 g.x/

Si lím g.x/ D 0 y si g.x/ < 0 cerca de x0 , entonces lím
x!x0

c D 1 si c > 0; x!x0 g.x/

Si lím g.x/ D 0 y si g.x/ > 0 cerca de x0 , entonces lím
x!x0

c D 1 si c < 0; x!x0 g.x/ c D C1 si c < 0. x!x0 g.x/

Si lím g.x/ D 0 y si g.x/ < 0 cerca de x0 , entonces...